资源描述
第五章矩阵与变换第71课 矩阵与变换最新考纲内容要求ABC矩阵的概念二阶矩阵与平面向量常见的平面变换变换的复合与矩阵的乘法二阶逆矩阵二阶矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的简单应用1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21.(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中为旋转角度；(5)投影变换：如，；(6)切变变换：如(kR，且k0)3逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.4特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量5特征多项式设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()2(ad)adbc，称为A的特征多项式1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)每一个二阶矩阵都可逆()(2)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量()(3)把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的线性变换对应的二阶矩阵为.()(4)对于矩阵A，B来说ABBA.()答案(1)(2)(3)(4)2函数yx2在矩阵M变换作用下的解析式为_yx2，代入yx2得yx2，即yx2.3(教材改编)二阶矩阵A对应的变换将点(2,1)变换成(0，b)，则a_，b_.22由，得即4设矩阵A，则矩阵A的特征向量为_，f()210，得11，21.当1时，得特征向量a1；当1时，得特征向量a2.5已知矩阵A，B，若AXB，则矩阵X_.设X，由，得解得X.二阶矩阵与线性变换二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2,1)分别变成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：xy4.求直线l的方程. 【导学号：62172370】解(1)设二阶矩阵M.依题意，也就是，且解得a1，b2，c3，d4，因此所求矩阵M.(2)M，坐标变换公式为(x，y)是直线m：xy4上的点(x2y)(3x4y)4，即xy20，直线l的方程为xy20.规律方法1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算相结合命题包括二阶矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法等2(1)二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵、变换前的曲线方程、变换后的曲线方程三个要素知其二可求第三个(2)在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆变式训练1(2017南通二调)在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,2)在矩阵M对应的变换作用下得到点A，将点B(3,4)绕点A逆时针旋转90得到点B，求点B的坐标解设B(x，y)，依题意，由，得A(1,2)则(2,2)，(x1，y2)记旋转矩阵N，则，即，解得所以点B的坐标为(1,4).求逆矩阵已知矩阵A.(1)求逆矩阵A1；(2)若二阶矩阵X满足AX，试求矩阵X.解(1)det(A)10.矩阵A是可逆的，A1.(2)AX，A1AXA1，X.规律方法求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵，ABBAE；(2)公式法Aadbc0，有A1.变式训练2已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.特征值与特征向量(2017苏州模拟)求矩阵M的特征值和特征向量. 【导学号：62172371】解特征多项式f()(1)(6)82514(7)(2)，由f()0，解得17，22.将17代入特征方程组，得即y2x，可取为属于特征值17的一个特征向量，同理，22时，特征方程组是即x4y，所以可取为属于特征值22的一个特征向量综上所述，矩阵M有两个特征值17，22；属于17的一个特征向量为，属于22的一个特征向量为.规律方法已知A，求特征值和特征向量的步骤：(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量变式训练3(2015江苏高考)已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值解由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.思想与方法1二阶矩阵与平面列向量乘法：，这是所有变换的基础2证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即ABEBA.3二元一次方程组相应的矩阵方程为AXB，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量4若某一向量在矩阵交换作用下的像与原像共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值易错与防范1两个矩阵相等，不但要求元素相同，而且要求相同元素的位置也一样2对于矩阵的乘法运算不满足消去律，即由ACBC不一定得到AB.3矩阵A的属于特征值的特征向量不唯一，其特征值的特征向量共线课时分层训练(十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)1已知矩阵A，B，向量，若AB，求实数x，y的值解A，B，由AB得解得x，y4.2(2017如皋中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点P(x,5)在矩阵M对应的变换下得到点Q(y2，y)，求M1. 【导学号：62172372】解依题意，即解得，由逆矩阵公式知，矩阵M的逆矩阵M1，所以M1.3(2017泰州二中月考)若点A(2,2)在矩阵M对应变换的作用下得到的点为B(2,2)，求矩阵M的逆矩阵解由题意，得，sin 1，cos 0，M.10，M1.4已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量. 【导学号：62172373】解(1)由，得a13，a4.(2)由(1)知A，则矩阵A的特征多项式为f(x)(1)24223，令f()0，得矩阵A的特征值为1或3.当1时二元一次方程y2x.矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为.当3时，二元一次方程2xy0.矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017苏州市期中)已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M将点(1,3)变换为(0,8)(1)求矩阵M；(2)求曲线x3y20在M的作用下的新曲线方程解(1)设M，由8及，得解得M.(2)设原曲线上任一点P(x，y)在M作用下对应点P(x，y)，则，即解得代入x3y20得x2y40，即曲线x3y20在M的作用下的新曲线方程为x2y40.2(2016南京盐城一模)设矩阵M的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2y21，求曲线C的方程解由题意，矩阵M的特征多项式f()(a)(1)，因矩阵M有一个特征值为2，f(2)0，所以a2.所以M，即代入方程x2y21，得(2x)2(2xy)21，即曲线C的方程为8x24xyy21.3(2016苏北三市三模)已知矩阵A，向量，计算A5.解因为f()256 ，由f()0，得2或3.当2时，对应的一个特征向量为1；当3时，对应的一个特征向量为2.设mn，解得所以A5225135.4已知矩阵A，B(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)求直线xy10在矩阵A1B对应的线性变换作用下所得的曲线的方程解(1)设A1，AA1，A1.(2)A1B，设直线xy10上任意一点P(x，y)在矩阵A1B对应的线性变换作用下得P(x，y)，则，即代入xy10得x3y(y)10，可化为：x2y10，即x2y10为所求的曲线方程
展开阅读全文