高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第70课 直线与圆的位置关系

第70课 直线与圆的位置关系最新考纲内容要求ABC圆的切线的判定与性质定理圆周角定理，弦切角定理相交弦定理，割线定理，切割线定理圆内接四边形的判定与性质定理1圆周角与圆心角定理(1)圆心角定理：圆心角的度数等于其所对弧的度数(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90.反之，90的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径)2圆的切线的性质及判定定理(1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心3切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等4弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半5与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD；(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是O的割线(1)PAPBPDPC；(2)PACPDB(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相似求AC，BD切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切线长定理PA，PB是O的切线(1)PAPB；(2)OPAOPB(1)证明线段相等，已知PA求PB；(2)求角6.圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角互补(2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆1(思考辨析)判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)相等的圆周角所对的弧也相等()(2)任意一个四边形、三角形都有外接圆()(3)等腰梯形一定有外接圆()(4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图701，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为_图701由题意可设AMMNNBx，由圆的相交弦定理得即解得x2，NE.3(教材改编)如图702，P为O外一点，过P作O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交O于C，D两点，若QC1，CD3，则PB_.图7024由切割线定理得QA2QCQD1(13)4，所以QA2，PBPA4.4(2016天津高考)如图703，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE2AE2，BDED，则线段CE的长为_图703如图，设圆心为O，连结OD，则OBOD.因为AB是圆的直径，BE2AE2，所以AE1，OB.又BDED，B为BOD与BDE的公共底角，所以BODBDE，所以，所以BD2BOBE3，所以BDDE.因为AEBECEDE，所以CE.5如图704，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：OCBD.图704证明因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC，故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点故B，D为同弧所对的两个圆周角所以BD.因此OCBD.圆的切线性质与判定、弦切角定理如图705，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.图705(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小. 【导学号：62172366】解(1)证明：如图，连结AE，由已知得AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得DEDC，故DECDCE.连结OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)设CE1，AEx.由已知得AB2，BE.由射影定理可得AE2CEBE，即x2，即x4x2120.解得x，所以ACB60.规律方法1.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦的(弧)两端作圆周角或弦切角变式训练1如图706，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径图706解(1)证明：因为DE为O直径，则BEDEDB90.又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，则3.又BC，从而AB3，所以AC4，所以AD3.由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.圆内接四边形及圆周角定理(2016全国卷)如图707，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积图707解(1)证明：因为DFEC，所以DEFCDF，则有GDFDEFFCB，所以DGFCBF，由此可得DGFCBF.因此CGFCBF180，所以B，C，G，F四点共圆(2)由B，C，G，F四点共圆，CGCB知FGFB.连结GB.由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC，故RtBCGRtBFG，因此，四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍，即S2SGCB21.规律方法1.判断四点共圆的步骤(1)观察几何图形，找到一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四边形的一对对角的和是否为180或判断四边形一外角与其内对角是否相等；(3)下结论2解决有关三角形与圆的试题，关键是正确处理角与边之间的关系，通过相应的条件与定理建立有关角之间或边之间的关系式，进而达到求解的目的变式训练2(2017苏州市期中)如图708，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB2BEBDAEAC.图708 证明连结AD，BC，AB为圆的直径，ADB90，又EFAB，AFE90，则A，D，E，F四点共圆，BDBEBABF，又ABCAEF，即ABAFAEAC.BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.即AB2BEBDAEAC.与圆有关的比例线段如图709，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结BF并延长交CD于点E.(1)求证：E为CD的中点；(2)求EFFB的值. 【导学号：62172367】图709解(1)证明：由题可知是以A为圆心，DA为半径作的圆弧，而四边形ABCD为正方形，ED为圆A的切线，依据切割线定理得ED2EFEB，又圆O以BC为直径，EC是圆O的切线，同样依据切割线定理得EC2EFEB，故ECED，E为CD的中点(2)连结CF，BC为圆O的直径，CFBF，由SBCEBCCEBECF，得CF.在RtBCE中，由射影定理得EFFBCF2.规律方法解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：1直接应用相交弦、切割线定理及其推论2当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握变式训练3如图7010，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.图7010证明(1)连结AB，AC，由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAE，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.思想与方法1切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心2证明四点共圆的主要方法(1)圆内接四边形的判定定理(2)圆内接四边形判定定理的推论3弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角易错与防范1圆内接四边形的性质易得到相等的角，进而为得到三角形相似创造了条件2与圆有关的比例线段紧紧抓住两点：(1)切割线定理、相交弦定理；(2)利用圆内接四边形性质和三角形相似课时分层训练(十四)A组基础达标(建议用时：30分钟)1如图7011，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.图7011求证：ABDAEB.证明因为ABAC.所以ABDC.又O是三角形ABC的外接圆，所以EC，从而ABDE.又BAEBAD.故ABDAEB.2(2017泰州模拟)如图7012，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.图7012求证：AC2AD. 【导学号：62172368】证明连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB，所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.3如图7013，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，求BE的长图7013解由切割线定理，得PA2PCPD.因此PD12.又PC3，所以CDPDPC9.由于CEED21，因此CE6，ED3.由相交弦定理，AEEBCEED，所以BE2.4如图7014，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：图7014(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO. 【导学号：62172369】证明(1)如图所示，因为点M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，则OME90，ENO90，因此OMEONE180.又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，点O，M，E，N四点共圆由割线定理，得FEFNFMFO.B组能力提升(建议用时：15分钟)1如图7015，设AB为O的任一条不与直线l垂直的直径，P是O与l的公共点，ACl，BDl，垂足分别为C，D，且PCPD.图7015(1)求证：l是O的切线；(2)若O的半径OA5，AC4，求CD的长解(1)证明：连结OP，ACl，BDl，ACBD.又OAOB，PCPD，OPBD，从而OPl.点P在O上，l是O的切线(2)由(1)可得OP(ACBD)，BD2OPAC1046.过点A作AEBD，垂足为E，则BEBDAC642.在RtABE中，AE4，CD4.2(2016全国卷)如图7016，OAB是等腰三角形，AOB120，以O为圆心，OA为半径作圆图7016(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.证明(1)设E是AB的中点，连结OE.因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60.在RtAOE中，OEAO，即O到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切(2)因为OA2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证，OOCD，所以ABCD.3如图7017，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上图7017(1)若EFCD，证明：EF2FAFB；(2)若EB3EC，EA2ED，求的值解(1)证明：因为四边形ABCD内接于圆，所以BCDE.又EFCD，所以CDEFEA，因此，BFEA.而F为公共角，所以FAEFEB，于是，即EF2FAFB.(2)由割线定理，得EDEAECEB，即ED2EDEC3EC，所以，即.因为BCDE，CED是公共角，所以ECDEAB，于是，.4(2016全国卷)如图7018，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点图7018(1)若PFB2PCD，求PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OGCD.解(1)如图，连结PB，BC，则BFDPBABPD，PCDPCBBCD.因为，所以PBAPCB.又BPDBCD，所以BFDPCD.又PFBBFD180，PFB2PCD，所以3PCD180，因此PCD60.(2)证明：因为PCDBFD，所以EFDPCD180，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上又O也在CD的垂直平分线上，因此OGCD.