2017届河北省衡水市武邑中学高考数学四模试卷（理科）（解析版）

2017年河北省衡水市武邑中学高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|x27x0，xN*，则B=y|N*，yA中元素的个数为（）A3个B4个C1个D2个2已知集合A=x|y=lg（x+1），B=x|x|2，则AB=（）A（2，0）B（0，2）C（1，2）D（2，1）3设向量=（x1，x），=（x+2，x4），则“”是“x=2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4某校高考数学成绩近似地服从正态分布N，且P（110）=0.96，则P（90100）的值为（）A0.49B0.48C0.47D0.465某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A36+12B36+16C40+12D40+166设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）ABCD7执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A2016B1024CD18已知P（x0，y0）是椭圆C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（）ABCD9在平行四边形ABCD中，则|=（）ABCD10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）AB27CD11已知点F2，P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2|，且，则该双曲线的离心率为（）ABCD12设函数f（x）=x32ex2+mxlnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A（，e2+B（0，e2+C（e2+，+D（e2，e2+二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知正项等比数列an中，a1=1，其前n项和为Sn（nN*），且，则S4= 14设0，函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位后与原图象重合则的最小值为 15设a，b，c1，2，3，4，5，6，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个16直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为Sn，且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立（1）试求当a1为何值时，数列an是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和Tn取得最大值18某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04 周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由19在四棱锥PABCD中，ADBC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC面ABCD（）证明：ED面PAB；（）若PC=2，PA=，求二面角APCD的余弦值20已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点（）求P点的轨迹C的方程；（）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若kEGkFH=，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值21已知函数f（x）=xax（a0，且a1）（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值四.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C（1）求出C的普通方程；（2）设直线l：x+2y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x|+|x3|（1）解关于x的不等式f（x）5x；（2）设m，ny|y=f（x），试比较mn+4与2（m+n）的大小2017年河北省衡水市武邑中学高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|x27x0，xN*，则B=y|N*，yA中元素的个数为（）A3个B4个C1个D2个【考点】12：元素与集合关系的判断【分析】此题实际上是求AB中元素的个数解一元二次不等式，求出集合A，用列举法表示B，利用两个集合的交集的定义求出这两个集合的交集，结论可得【解答】解：A=x|0x7，xN*=1，2，3，4，5，6，B=1，2，3，6，AB=B，集合A=x|x27x0，xN*，则B=y|N*，yA中元素的个数为4个故选：B2已知集合A=x|y=lg（x+1），B=x|x|2，则AB=（）A（2，0）B（0，2）C（1，2）D（2，1）【考点】1E：交集及其运算【分析】求解对数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由x+10，得x1A=（1，+），B=x|x|2=（2，2）AB=（1，2）故选：C3设向量=（x1，x），=（x+2，x4），则“”是“x=2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】，可得=0，解出即可得出【解答】解：，（x1）（x+2）+x（x4）=0，化为：2x23x2=0，解得x=或2“”是“x=2”的必要不充分条件故选：B4某校高考数学成绩近似地服从正态分布N，且P（110）=0.96，则P（90100）的值为（）A0.49B0.48C0.47D0.46【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布曲线的对称性计算【解答】解：近似地服从正态分布N，P（100）=0.5，P=P（110）P（100）=0.960.5=0.46，P（90100）=P=0.46故选D5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A36+12B36+16C40+12D40+16【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，几何体的表面积S=222+24+242+24+222=12+40故选C6设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）ABCD【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：D为ABC中BC边上的中点，=（+），O为AD边上靠近点A的三等分点，=，=（+），=（+）=（）（+）=+故选：A7执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A2016B1024CD1【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0满足条件y1024，执行循环体，x=1，y=1满足条件y1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y1024，执行循环体，x=1，y=4观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=3413+1，可得：满足条件y1024，执行循环体，x=1，y=1024不满足条件y1024，退出循环，输出x的值为1故选：D8已知P（x0，y0）是椭圆C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（）ABCD【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点；由，x=可得x0的取值范围是（）【解答】解：如图，设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点；由得，x=要使，则点P在A、B之间，x0的取值范围是（）故选：A9在平行四边形ABCD中，则|=（）ABCD【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】如图，取AE的中点G，连接BG，由题意可得=，再根据向量的三角形法则和向量的模以及向量的数量积公式计算即可【解答】解：如图，取AE的中点G，连接BG=， =，=，=，|2=|2=2+=52251+1=20，|=|=2，故选：B10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）AB27CD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】作出棱锥直观图，则每个面都是直角三角形，代入数据计算即可【解答】解：作出几何体的直观图如图所示：其中PB平面ABC，ABAC，由三视图可知AB=3，PB=AC=3，BC=PA=6，SABC=，SPAB=，SPAC=9，SPBC=9，S表面积=+9+9=27故选：D11已知点F2，P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2|，且，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】方法一：由题意可知：则M为线段PF2的中点，则M（，），根据向量数量积的坐标运算，即可求得x=2c，利用两点之间的距离公式，即可求得y=c，利用双曲线的定义，即可求得a=（1）c，利用双曲线的离心率公式即可求得该双曲线的离心率方法二：由题意可知：2=+，则M为线段PF2的中点，根据向量的数量积，求得cosOF2M，利用余弦定理即可求得丨OM丨，根据三角形的中位线定理及双曲线的定义丨PF1丨丨PF2丨=2a，a=（1）c，即可求得双曲线的离心率【解答】解：设P（x，y），F1（c，0），F2（c，0），由题意可知：2=+，则M为线段PF2的中点，则M（，），则=（c，0），=（，），则=c=解得：x=2c，由丨丨=丨丨=c，即=c，解得：y=c，则P（2c， c），由双曲线的定义可知：丨PF1丨丨PF2丨=2a，即=2a，a=（1）c，由双曲线的离心率e=，该双曲线的离心率，故选D方法二：由题意可知：2=+，则M为线段PF2的中点，则OM为F2F1P的中位线，=丨丨丨丨cosOF2M=，由丨丨=丨丨=c，则cosOF2M=，由正弦定理可知：丨OM丨2=丨丨2+丨丨22丨丨丨丨cosOF2M=3c2，则丨OM丨=c，则丨PF1丨=2，丨PF2丨=丨MF2丨=2c，由双曲线的定义丨PF1丨丨PF2丨=2a，a=（1）c，由双曲线的离心率e=，该双曲线的离心率，故选D12设函数f（x）=x32ex2+mxlnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A（，e2+B（0，e2+C（e2+，+D（e2，e2+【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】由题意先求函数的定义域，再化简为方程x32ex2+mxlnx=0有解，则m=x2+2ex+，求导求函数m=x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围【解答】解：f（x）=x32ex2+mxlnx的定义域为（0，+），又g（x）=，函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x32ex2+mxlnx至少有一个零点；即方程x32ex2+mxlnx=0有解，则m=x2+2ex+，m=2x+2e+=2（xe）+；故当x（0，e）时，m0，当x（e，+）时，m0；则m=x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，故me2+2ee+=e2+；又当x+0时，m=x2+2ex+，故me2+；故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知正项等比数列an中，a1=1，其前n项和为Sn（nN*），且，则S4=15【考点】89：等比数列的前n项和【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可【解答】解：正项等比数列an中，a1=1，且，1=，即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），S4=15，故答案为：1514设0，函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位后与原图象重合则的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出的表达式，判断出它的最小值【解答】解：函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，=n，nz=n，nz又0，故其最小值是故答案为：15设a，b，c1，2，3，4，5，6，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有27个【考点】D3：计数原理的应用【分析】先考虑等边三角形情况，则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个，再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b，列举出所有的情况，注意去掉不能构成三角形的结果，求和得到结果【解答】解：由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，先考虑等边三角形情况则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b当a=b=1时，ca+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时，c4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已经讨论了），此时n有2个；当a=b=3时，c6，则c=1，2，4，5，此时n有4个；当a=b=4时，c8，则c=1，2，3，5，6，有5个；当a=b=5时，c10，有c=1，2，3，4，6，有5个；当a=b=6时，c12，有c=1，2，3，4，5，有5个；由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27个，故答案为2716直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围是6，10【考点】9V：向量在几何中的应用【分析】取MN的中点A，连接OA，则OAMN由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在RtAON中，得到cosAON=，得cosMON=，最后根据向量数量积的公式即可算出的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得=28cosAOP，考虑，同向和反向，可得最值，即可得到所求范围【解答】解：取MN的中点A，连接OA，则OAMN，c2=a2+b2，O点到直线MN的距离OA=1，x2+y2=16的半径r=4，RtAON中，设AON=，得cos=，cosMON=cos2=2cos21=1=，由此可得， =|cosMON=44（）=14，则=（）（）=+2（+）=14+162=22|cosAOP=28cosAOP，当，同向时，取得最小值且为28=6，当，反向时，取得最大值且为2+8=10则的取值范围是6.10故答案为：6.10三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为Sn，且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立（1）试求当a1为何值时，数列an是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和Tn取得最大值【考点】8E：数列的求和【分析】（1）由已知数列递推式可得an+1=2an，再由数列an是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列an的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求【解答】解：（1）由an+1=1+Sn得：当n2时，an=1+Sn1，两式相减得：an+1=2an，数列an是等比数列，a2=2a1，又a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1得：；（2），可知数列是一个递减数列，由此可知当n=9时，数列的前项和Tn取最大值18某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04 周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由两天都下雨的概率求出p的值，写出基地收益X的可能取值，计算对应的概率；写出该基地收益X的分布列，计算数学期望E（X）；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，计算数学期望E（Y），比较E（X）、E（Y）即可得出结论【解答】解：（1）两天都下雨的概率为（1p）2=0.04，解得p=0.8；该基地收益X的可能取值为10，8，5；（单位：万元）则：P（X=10）=0.64，P（X=8）=20.80.2=0.32，P（X=5）=0.04；所以该基地收益X的分布列为：X1085P0.640.320.04则该基地的预期收益为E（X）=100.64+80.32+50.04=9.16（万元），所以，基地的预期收益为9.16万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益：E（Y）=110.8+60.20.5=9.5（万元）；此时E（Y）E（X），所以该基地应该外聘工人19在四棱锥PABCD中，ADBC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC面ABCD（）证明：ED面PAB；（）若PC=2，PA=，求二面角APCD的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形得到DEAF，再由线面平行的判定可得ED面PAB；（）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得ABAC，找出二面角APCD的平面角求解三角形可得二面角APCD的余弦值法二、由题意证得ABAC又面PAC平面ABCD，可得AB面PAC以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系求出P的坐标，再求出平面PDC的一个法向量，由图可得为面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APCD的余弦值【解答】（）证明：取PB的中点F，连接AF，EFEF是PBC的中位线，EFBC，且EF=又AD=BC，且AD=，ADEF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形DEAF，又DE面ABP，AF面ABP，ED面PAB；（）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则ADMC且AD=MC，四边形ADCM是平行四边形，AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上ABAC，可得过D作DGAC于G，平面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCD=AC，DG平面PAC，则DGPC过G作GHPC于H，则PC面GHD，连接DH，则PCDH，GHD是二面角APCD的平面角在ADC中，连接AE，在RtGDH中，即二面角APCD的余弦值法二、取BC的中点M，连接AM，则ADMC，且AD=MC四边形ADCM是平行四边形，AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，ABAC面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCD=AC，AB面PAC如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系可得，设P（x，0，z），（z0），依题意有，解得则，设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得为面PAC的一个法向量，且，设二面角APCD的大小为，则有，即二面角APCD的余弦值20已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点（）求P点的轨迹C的方程；（）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若kEGkFH=，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】（）利用椭圆的定义，即可求P点的轨迹C的方程；（）不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，求出面积，即可证明结论【解答】（）解：因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4|F1F2|，所以轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，a=2，所以，故轨迹C的方程（）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，E（x1，y1），H（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，则由，得由、，得2m24k23=0设原点到直线EH的距离为，由、，得，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为21已知函数f（x）=xax（a0，且a1）（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）问题转化为恒成立，令g（x）=x2+xex，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xex，原题分离参数得恒成立，令g（x）=x2+xex，g（x）=x+1ex，g（x）=1ex0，故g（x）在0，+）递减，g（x）g（0）=0，故g（x）在0，+）递减，g（x）g（0）=1，故b1；（2）f（x）=1axlna，当0a1时，ax0，lna0，所以f（x）0，所以f（x）在R上为单增函数，无极大值；当a1时，设方程f（x）=0的根为t，则有，即，所以f（x）在（，t）上为增函数，在（t，+）上为减函数，所以f（x）的极大值为，即，因为a1，所以，令则，设h（x）=xlnxx，x0，则，令h（x）=0，得x=1，所以h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，所以h（x）得最小值为h（1）=1，即g（a）的最小值为1，此时a=e四.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C（1）求出C的普通方程；（2）设直线l：x+2y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）求出C的参数方程，即可求出C的普通方程；（2）求出P1（2，0），P2（0，1），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，可得直线方程，即可求出极坐标方程【解答】解：（1）设（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C上的点（x，y），则有，；（2）解得：，所以P1（2，0），P2（0，1），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，于是所求直线方程为化为极坐标方程得：4cos2sin3=0，即选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x|+|x3|（1）解关于x的不等式f（x）5x；（2）设m，ny|y=f（x），试比较mn+4与2（m+n）的大小【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式【分析】（1）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）5x；（2）由（1）易知f（x）3，所以m3，n3，利用作差法，即可比较mn+4与2（m+n）的大小【解答】解：（1）得或或，解之得或x或x8，所以不等式的解集为（2）由（1）易知f（x）3，所以m3，n3由于2（m+n）（mn+4）=2mmn+2n4=（m2）（2n）且m3，n3，所以m20，2n0，即（m2）（2n）0，所以2（m+n）mn+42017年6月15日