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精选优质文档-倾情为你奉上上海市金山区高二下学期期末数学试题一、单选题1现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（ ）A.3，13，23，33，43，53B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54D.5，10，15，20，25，30【答案】A【解析】由题意可知：，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，对此可以选出正确答案.【详解】根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是。只有A符合要求，即后面的数比前一个数大10。【点睛】本题考查了系统抽样的原则.2设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，有下列命题：如果，那么； 如果，那么；如果，那么；如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么；其中正确的命题是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据线面垂直与线面平行的性质可判断;由直线与平面垂直的性质可判断;由直线与平面平行的性质可判断;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断.【详解】对于如果,根据线面垂直与线面平行性质可知或或,所以错误对于如果,根据直线与平面垂直的性质可知,所以正确;对于如果,根据直线与平面平行的判定可知,所以正确;对于如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等,当两个平面相交时,若三个点分布在平面的两侧,也可以满足条件,所以错误,所以错误;综上可知,正确的为故选:B【点睛】本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档题.3如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60角的异面直线一一列出，即得答案【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条故选：B【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题4运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】由椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥当截面与底面距离为时，截圆锥得到的截面小圆半径为 则，即所以截面面积为把代入椭圆方程，可求得所以橄榄球形状几何体的截面面积为由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为故选:C【点睛】本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.二、填空题5函数的定义域是_【答案】【解析】将函数的指数形式转化为根式形式,即可求得其定义域.【详解】函数即根据二次根式有意义条件可知定义域为 故答案为: 【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法,将函数解析式进行适当变形,更方便求解,属于基础题.6若，则_【答案】10【解析】根据组合数的性质,即可求得的值.【详解】根据组合数的性质所以故答案为:10【点睛】本题考查了组合数的简单性质,属于基础题.7在的二项展开式中，项的系数为_（结果用数值表示）【答案】【解析】根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得项的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为 所以当时为项则所以项的系数为故答案为: 【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,求指定项的系数,属于基础题.8已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75，乙地纬度为北纬15，则甲乙两地的球面距离是_【答案】【解析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离.【详解】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上当甲地纬度为北纬75,乙地纬度为北纬15,则两地间所在的大圆圆心角为60所以两地的球面距离为故答案为【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题.9若函数的反函数为，且，则的值为_【答案】【解析】根据反函数的解析式,求得函数的解析式,代入即可求得的值.【详解】因为函数的反函数为,且令则所以即函数()所以故答案为: 【点睛】本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题.10底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是_【答案】【解析】根据三视图,画出空间几何体,即可求得表面积.【详解】根据三视图可知该几何体为三棱柱,画出空间结构体如下:该三棱柱的高为2,上下底面为等腰直角三角形,腰长为所以上下底面的面积为 侧面积为 所以该三棱柱的表面积为故答案为: 【点睛】本题考查由三视图还原空间结构体,棱柱表面积的求法,属于基础题.11若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.12若，则的值是_【答案】2【解析】利用赋值法,分别令代入式子即可求得的值.【详解】因为令,代入可得令,代入可得两式相减可得,即故答案为:2【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用,赋值法求二项式系数的值是常用方法,属于基础题.13设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是_【答案】0.8【解析】根据相互独立事件概率的计算公式,及对立事件的概率求法,即可求解.【详解】因为选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6,所以既不选择物理也不选择化学的概率为 所以由对立事件的性质可知至少选择一个科目的概率为 故答案为: 【点睛】本题考查了独立事件的概率求法,对立事件的性质应用,属于基础题.14在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为2，若，且，则的值为_【答案】4【解析】根据向量线性运算分别表示出,结合向量数量积运算即可求解.【详解】根据题意,画出空间几何体如下图:,且,且底面边长和侧棱长都为2则,所以故答案为:4【点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用,属于基础题.15如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为_.【答案】【解析】分析：先建立空间直角坐标系，再求|BP|的最小值，最后求的面积的最小值.详解：以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以D为z轴，建立空间直角坐标系.则点P(2,y,z),所以.因为C(0，2，0),M(2，0，1),所以,因为.因为B(2，2，0)，所以，所以因为0y2，所以当y=时，.因为BCBP,所以.故填.点睛：本题的关键是解题思路的确定.本题数形结合不是很方便，由于函数的方法是处理最值问题的常用方法，所以要建立空间直角坐标系，先求出函数的解析式，再求函数的定义域y|0y2，再利用二次函数研究函数的最小值.16已知（为常数），对任意，均有恒成立，下列说法：的周期为6；若（为常数）的图像关于直线对称，则；若，且，则必有；已知定义在上的函数对任意均有成立，且当时，；又函数（为常数），若存在使得成立，则实数的取值范围是，其中说法正确的是_（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】根据成立即可求得对称轴,由对称轴结合解析式即可求得的值,可判断;根据及对称轴即可求得的值,可判断;根据条件可得与的关系,结合二次函数的值域即可判断;根据条件可知函数为偶函数,根据存在性成立及恒成立,转化为函数的值域即可判断.【详解】对于,因为对任意,均有成立,则的图像关于直线对称,所以解得.即是轴对称函数,不是周期函数,所以错误;对于,的图像关于直线对称,可得,解得,所以正确;对于,而由可知则或.当时,代入可得,即,解不等式组可得,不等式无解,所以不成立当时,代入可得,即,解不等式组可得,即所以,所以,所以错误;对于,由可知函数为偶函数,当时, ;当时, .所以在上的值域为在上的值域为因为存在使得成立所以只需且即,即实数的取值范围是,所以正确综上可知,说法正确的是故答案为: 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及恒成立问题的综合应用,对于分类讨论思想的理解,属于难题。三、解答题17男生4人和女生3人排成一排拍照留念.（1）有多少种不同的排法（结果用数值表示）？（2）要求两端都不排女生，有多少种不同的排法（结果用数值表示）？（3）求甲乙两人相邻的概率.（结果用最简分数表示）【答案】（1）5040；（2）1440；（3）.【解析】（1）根据排列的定义及排列数公式,即可求得总的排列方法.（2）根据分步计数原理,先把两端的位置安排男生,再安排中间5个位置即可.（3）根据捆绑法计算甲乙两人相邻的排列方法,除以总数即可求得甲乙两人相邻的概率.【详解】（1）男生4人和女生3人排成一排则总的安排方法为种（2）因为两端不安排女生,所以先把两端安排男生,共有种剩余5人安排在中间位置,总的安排方法为种根据分步计数原理可知两端不安排女生的方法共有种（3）甲乙两人相邻,两个人的排列为把甲乙看成一个整体,和剩余5人一起排列,总的方法为因为男生4人和女生3人排成一排总的安排方法为种所以甲乙两人相邻的概率为【点睛】本题考查了排列组合的综合应用,对特殊位置要求及相邻问题的求法,属于基础题.18已知直三棱柱中，.（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据直三棱柱的性质,可知直线与平面所成角即为,根据即可得解.（2）根据结合三棱锥体积求法即可得点到平面的距离.【详解】（1）画出空间几何体如下图所示:因为三棱柱为直三棱柱,所以即为直线与平面所成角因为,所以即直线与平面所成角为（2）因为直三棱柱中,. 所以则,设点到平面的距离为则所以 即,解得所以点到平面的距离为【点睛】本题考查了直线与平面的夹角,点到平面距离的求法及等体积法的应用,属于基础题.19已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足：，.经测算，电车载客量与发车时间间隔满足：，其中.（1）求，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.【答案】（1），实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量为350；（2）间隔时间为5分钟时净收益最大，每分钟最大净收益为60元.【解析】（1）根据的解析式代入求得,其意义为某一时刻的载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间.【详解】（1）因为所以的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时,载客量为 （2）根据,则将的解析式代入的解析式可得化简即可得当时, ,当且仅当时等号成立当时, ,当时等号成立综上可知,当发车时间间隔为时,线路每分钟的收益最大,最大为元.【点睛】本题考查了分段函数的应用,利用基本不等式及函数的单调性求最值,属于基础题.20如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面面圆周上的点.（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】（1）根据圆柱性质可得,由圆的性质可得,即可证明平面;（2）先判断当三棱锥体积最大时的位置.过底面圆心作,即可得二面角的平面角为,根据所给线段关系解三角形即可求得,进而用反三角函数表示出即可.（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,结合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【详解】（1）证明:因为是圆柱的母线,平面 所以又因为是圆柱的底面直径所以,即又因为所以平面（2）当三棱锥体积最大时,底面积最大,所以到的距离最大,此时为设底面圆的圆心为,连接则,又因为所以平面因为, 所以取中点,则过O作,垂足为则,所以为中点连接,由平面可知所以为二面角的平面角在中, ,所以则二面角的大小为（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,如下图所示:因为,在中,由余弦定理可知则所以的最小值为【点睛】本题考查了线面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空间中最短距离的求法,综合性较强,属于中档题.21若存在常数（），使得对定义域内的任意，（），都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”.（1）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；（3）若（）是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数，都有.【答案】（1）不是；详见解析（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）利用特殊值,即可验证是不是“利普希兹条件函数”.（2）分离参数,将不等式变为关于,的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值;（3）设出的最大值和最小值,根据一个周期内必有最大值与最小值,结合与1的大小关系,及“利普希兹条件函数”的性质即可证明式子成立.【详解】（1）函数不是“利普希兹条件函数”证明: 函数的定义域为 令则所以不满足所以函数不是“利普希兹条件函数”（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”则对定义域内任意,（）,均有即设则,即因为所以所以满足的的最小值为（3）证明:设的最大值为,最小值为 在一个周期内,函数值必能取到最大值与最小值设因为函数（）是周期为2的“利普希兹条件函数”则若,则成立若,可设,则所以成立综上可知,对任意实数,都成立原式得证.【点睛】本题考查了函数新定义及抽象函数性质的应用,对题意正确理解并分析解决问题的方法是关键,属于难题.专心-专注-专业
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