概率论第五章习题解答课后习题答案

第五章习题解答1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h的概率。解设这16只元件的寿命为，则，因为，于是随机变量近似的服从.2（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率；（2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为，（以千美元计）服从韦布尔分布，均值，方差求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。解（1）设每个投保人索赔金额为，则索赔总金额为又 ，所以，索赔总金额不超过2700000美元的概率近似的服从即（2）3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解设每个加数的舍入误差为，由题设知相互独立同分布，且在（0.5，0.5）上服从均匀分布，从而，(1)、记，由独立同分布的中心定理有近似的服从，从而。（2）、记，要使，由独立同分布的中心极限定理，近似地有即，查表得令，解得。即最多可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，圴方为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解设每只零件的重量为，由独立同分布的中心极限定理知近似地服从则10.92070.0793。5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30要短于3m的概率。解把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m的根数记作，则是随机变量，且，其分布律为，所求的概率为由德莫弗拉普拉斯定理可求它的近似值。6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段所需要的时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立。现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成任务的概率。解设修理第（）台机器，第一阶段耗时，第二阶段为，则共耗时为已知因为指数分布的数学期望为，方差，即，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故20台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布，即而所求概率即不大可能在8小时内完成任务。（因为完成任务的可能性不到20%）7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5。若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率。（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。解设第格为为（），其分布律 0.3 0.2 0.5由此得（即平均收入）以表示总收入，即，由独立同分布中心极限定理，得则收入超过400元的概率为。（2）以记300只蛋糕中售价为元的蛋糕数，于是，（出售这种蛋糕的平均只数）， (二项分布的方差)售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为（即有50%的可能售出60只价格为1.2元的蛋糕。）8、（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。（2）一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问n至少为多大时才能使系统的可靠性不低于0.95。解（1）设正常工作的部件数为（），由题设知（）相互独立，且，设，则。由德莫弗拉普拉斯定理知，近似地服从正态分布，从而（2）设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为，则是一个随机变量，且，由于当有20%的部件不工作时系统就不能工作，因此若设（取整数），则当正常工作的部件数时，系统就不能正常工作。根据德莫弗拉普拉斯定理查表得（由标准正态分布的对称性。），由于（取整数），故可以认为，令，有，即当n至少为25时，才能使系统的可靠性不低于0.959、已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4（1）以表示一年（以52周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求的近似分布，并求。（2）求一年事故数小球100的概率。解（1）设该十字路口第周发生事故次数为，则（）是相互独立的随机变量，已知，标准差，则方差，于是服从正态分布，由中心极限定理，。（见教材P122之（2.3）式）。又。（2）设，则10、某种汽车氧化氮的排放量的数学期望为0.9g/km，标准差为1.9g/km某汽车公司有这汽车100辆，以表示这些汽车氧化氮排放量的算术平均值，问当为何值时的概率不超过0.01。解设每辆汽车的氧化氮排放量为（），则是相互独立的随机变量，且，由中心极限定理知，于是令，即查表有令，得g/km11、随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，且相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3。以，分别表示第一组和第二组所得的结果的算术平均值。（1）求；（2）求解因为， （1）由中心极限定理知近似服从，于是。（2）因为，由中心极限定理知近似服从，故。12、一公寓有200住户，一户拥有汽车数的分布分赴为0120.10.60.3问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为0.95。解设需要的车位数为, 设第（）户有车辆数为，则因为共有200户，各户占有车位相互独立，从而近似地有所求概率为，即查表知，令，解得由此知至少需要254个。13、某电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差。为了估计，随机地取n只这种器件，在时刻投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测得其寿命，以作为的估计，为使，问n至少为多少？解由独立同分布中心极限定理，近似的服从要使，即，亦即查表知，得，故n至少为1537。14、某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为0.8，医院任意抽查100个服用此药品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此种断言。（1）若实际上药品对这种疾病的治愈率为0.8，问接受这一的概率是多少？（2）若实际上此药品的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？解（1）设表示服用此种药品而治愈的病人数，则，此时，由德莫弗拉普拉斯中心极限定理，近似的服从若实际上药品对这种疾病的治愈率为0.8，接受接受这一断言，即（2）若实际上此药品的治愈率为0.7，接受这一断言即，而，接受这一断言即