数学文高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题五第3讲 圆锥曲线中的热点问题 Word版含解析

A级基础通关一、选择题1(2017全国卷改编)椭圆C：1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足AMB120，则实数m的取值范围是()A(3，)B1，3)C(0，)D(0，1解析：依题意，当0m3时，焦点在x轴上，要在曲线C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.答案：D2(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40 C. D.解析：由题意可得tan 130，所以e.答案：D3若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B. C. D.解析：根据题意，抛物线y2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|d，抛物线的方程为y2x2，即x2y，其准线方程为y，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min.答案：D4(2019天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.解析：由已知易得，抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线l：x1，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为yx，不妨设点A，B，所以|AB|4|OF|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又因为c2a2b2，所以c25a2，所以e.答案：D5(2019安徽六安一中模拟)点P在椭圆C1：1上，C1的右焦点为F2，点Q在圆C2：x2y26x8y210上，则|PQ|PF2|的最小值为()A44 B44 C62 D26解析：设椭圆的左焦点为F1(1，0)则|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4，故要求|PQ|PF2|的最小值即求|PQ|PF1|的最小值又圆C2的半径r2，圆心C2(3，4)，所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r222.故|PQ|PF2|的最小值为26.答案：D二、填空题6已知点(1，2)是双曲线1(a0，b0)上一点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：由已知得1，所以b24，则e215b2，故e.答案：(，)7已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：不妨设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)则|AC|BD|x2y1y1.又y1y2p24，所以|AC|BD|(y20)设g(x)，g(x)，令g(x)0，得x2，令g(x)0，得2x0.所以g(x)在(，2)上递减，在(2，0)上递增所以当x2，即y22时，|AC|BD|取最小值为3.答案：38(2019浙江卷)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_解析：如图，左焦点F(2，0)，右焦点F(2，0)线段PF的中点M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM2.在FFP中，OMPF，所以PF4.根据椭圆的定义，得PFPF6，所以PF2.又因为FF4，所以在RtMFF中，tan PFF，故直线PF的斜率是.答案：三、解答题9已知曲线C：y24x，曲线M：(x1)2y24(x1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点(1)若4，求证：直线l恒过定点；(2)若直线l与曲线M相切，求(点P坐标为(1，0)的最大值(1)证明：设l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y24my4n0.所以y1y24m，y1y24n.所以x1x24m22n，x1x2n2.由4，得x1x2y1y2n24n4，解得n2.所以直线l方程为xmy2，所以直线l恒过定点(2，0)(2)解：因为直线l与曲线M：(x1)2y24(x1)相切，所以2，且n3，整理得4m2n22n3(n3)又点P坐标为(1，0)，所以由已知及，得(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又y44n(n3)是减函数，所以当n3时，y44n取得最大值8.故的最大值为8.10(2019惠州调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A(0，4)的直线l与椭圆C交于M、N两点，F是椭圆C的上焦点问：是否存在直线l，使得SMAFSMNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，b，且a2b2c2，解之得a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)存在理由如下：由题意可知l的斜率一定存在，设l为ykx4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立(3k24)x224kx360，所以由SMAFSMNF，知M为线段AN的中点，所以x22x1， 将代入得x1；代入得x.从而可得k2，且满足式，所以k.因此存在直线l为6xy40或6xy40满足题意B级能力提升11在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)过点P(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值解：(1)因为e2，所以a24b2.又1，所以a28，b22.故所求椭圆C的方程为1.(2)设l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得x22mx2m240，判别式164m20，即m24.又x1x22m，x1x22m24，则|AB| ，点P到直线l的距离d.因此SPABd|AB|2.当且仅当m22即m时上式等号成立，故PAB面积的最大值为2.12设椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为A(1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且ACB，SABC.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)在ABC中，由余弦定理得AB2CA2CB22CACBcos C(CACB)23CACB4.又SABCCACBsin CCACB，所以CACB，代入上式得CACB2，所以椭圆长轴2a2，焦距2cAB2，所以b1.所以椭圆M的标准方程为y21.(2)设直线方程yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以x1x2，x1x2.假设x轴上存在定点D(x0，0)使得为定值所以(x1x0，y1)(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)xy1y2x1x2x0(x1x2)xk2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)xk2要使为定值，则的值与k无关，所以2x4x012(x2)，解得x0，此时为定值，定点为.