《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第1章 矢量分析

第 1 章 矢量分析在电磁理论中，我们要研究某些物理量（如电位、电场强度、磁场强度等）在空间的分布和变化规律。为此，引入了场的概念。如果每一时刻，一个物理量在空间中的每一点都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。电磁场是分布在三维空间的矢量场，矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本数学工具之一。标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，而矢量场在空间的变化规律则通过场的散度和旋度来描述。本章首先介绍标量场和矢量场的概念，然后着重讨论标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律，在此基础上介绍了亥姆霍兹定理。1.1矢量代数1.1.1 标量和矢量数学上，任一代数量都可称为标量。在物理学中，任一代数量一旦被赋予“物理单位”，则称为一个具有物理意义的标量，即所谓的物理量，例如电压、电荷量、质量、能量等等都是标量。一般的三维空间内某一点处存在的一个既有大小又有方向特性的量称为矢量，在本书中用黑体字母表示矢量，例如，而用来表示矢量的大小（或的模）。矢量一旦被赋予“物理单位”，则称为一个具有物理意义的矢量，如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等等。一个矢量可用一条有方向的线段来表示，线段的长度表示矢量的模，箭头指向表示矢量的方向，如图1.1.1所示。一个模为1的矢量称为单位矢量。在本书中用表示与矢量同方向的单位矢量，显然 （1.1.1）而矢量则可表示 （1.1.2）1.1.2 矢量的加法和减法 两个矢量与相加，其和是另一个矢量。矢量可按平行四边形法则得到：从同一点画出矢量与，构成一个平行四边形，其对角线矢量即为矢量，如图1.1.2所示。矢量的加法服从交换律和结合律 （交换律） （1.1.3） （结合律） （1.1.4）矢量的减法定义为 （1.1.5）式中的大小与的大小相等，但方向与相反，如图1.1.3所示。1.1.3矢量的乘法一个标量与一个矢量的乘积仍为一个矢量，其大小为。若，则与同方向；若，则与反方向。两个矢量与的乘法有两种：点积（或标积）和叉积（或矢积）。两个矢量与的点积是一个标量，定义为矢量和的大小与它们之间较小的夹角的余弦之积，如图1.1.4所示。即 （1.1.6）矢量的点积服从交互律和分配律 （交换律） （1.1.7） （分配律） （1.1.8）两个矢量与的叉积是一个矢量，它垂直于包含矢量和的平面，其大小定义为，方向为当右手四个手指从矢量到旋转时大拇指的方向，如图1.1.5所示。即 （1.1.9）根据叉积的定义，显然有 （1.1.10）因此，叉积不服从交换律，但叉积服从分配律 （分配律） （1.1.11）矢量与矢量的点积称为标量三重积，它具有如下运算性质 （1.1.12）矢量与矢量的叉积称为矢量三重积，它具有如下运算性质 （1.1.13）1.2 三种常用的正交坐标系 为了考察物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系。在电磁场理论中，最常用的坐标系为直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。1.2.1 直角坐标系 如图1.2.1所示，直角坐标系中的三个坐标变量是、和，它们的变化范围分别是，空间任一点是三个坐标曲面、和的交点。在直角坐标系中，过空间任一点的三个相互正交的坐标单位矢量、和分别是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法则：、 （1.2.1）任一矢量在直角坐标系中可表示为 （1.2.2）其中、和分别是矢量在、和方向上的投影。两个矢量与的和等于对应分量之和，即 （1.2.3）与的点积为 （1.2.4）与的叉积为 （1.2.5）在直角坐标系中，位置矢量 （1.2.6）其微分为 （1.2.7）而与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元分别为， （1.2.8）体积元为 （1.2.9）1.2.2 圆柱坐标系如图1.2.2所示，圆柱坐标系中的三个坐标变量是、和，它们的变化范围分别是 ， 空间任一点是如下三个坐标曲面的交点： 的圆柱面、包含轴并与平面构成夹角为的半平面、的平面。圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为， （1.2.10）或图1.2.2 圆柱面坐标系， ， （1.2.11）在圆柱坐标系中，过空间任一点的三个相互正交的坐标单位矢量、和分别是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法则，即、 （1.2.12）必须强调指出，圆柱坐标系中的坐标单位矢量和都不是常矢量，因为它们方向是随空间坐标变化的。由图1.2.3可得到、与、之间的变换关系为， （1.2.13）或， （1.2.14）由式（1.2.13）可以看出和是随变化的，且 （1.2.15）任一矢量在圆柱坐标系中可以表示为 （1.2.16）其中、和分别是矢量在、和方向上的投影。矢量与矢量的和为 （1.2.17）与的点积为 （1.2.18）与的叉积为 （1.2.19）在圆柱坐标系中，位置矢量为 （1.2.20）其微分元是 （1.2.21）它在、和增加方向上的微分元分别是、和，如图1.2.4所示。、和都是长度，它们同各自坐标的微分之比称为度量系数（或拉梅系数），即， （1.2.22）在圆柱坐标系中，与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元分别为 ， （1.2.23）体积元则为 （1.2.24）1.2.3 球坐标系如图1.2.5所示，球坐标系中的三个坐标变量是、和，它们的变化范围分别是， 空间任一点是如下三个坐标曲面的交点： 球心在原点、半径的球面；顶点在原点、轴线与轴重合且半顶角的正圆锥面；包含轴并与平面构成夹角为的半平面。球坐标系与直角坐标系之间的变换关系为， （1.2.25）或 ， ， （1.2.26）图1.2.5 球面坐标系在球坐标系中，过空间任一点的三个相互正交的坐标单位矢量、和分别是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法则、 （1.2.27）它们与、和之间的变换关系为 （1.2.28）或 （1.2.29）球坐标系中的坐标单位矢量、和都不是常矢量，且 （1.2.30）任一矢量在球坐标系中可表示为 （1.2.31）其中、和分别是矢量在、和方向上的投影。矢量与矢量的和为 （1.2.32）与的点积为 （1.2.33）与的叉积为 （1.2.34）位置矢量 （1.2.35）其微分元是 （1.2.36）即在球坐标系中沿三个坐标的长度元为、和，如图1.2.6所示。度量系数分别为， （1.2.37）在球坐标系中，三个面积元分别为， （1.2.38）体积元 （1.2.39）1.3 标量场的梯度如果在一个空间区域中，某物理系统的状态可以用一个空间位置和时间的函数来描述，即每一时刻在区域中每一点它都有一个确定值，则在此区域中就确立了该物理系统的一种场。例如物体的温度分布即为一个温度场；流体中的压力分布即为一个压力场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理状态作为空间和时间的函数来描述，而且，在此空间区域中，除开有限个点或某些表面外，该函数是处处连续的。若物理状态与时间无关，则为静态场；反之则为动态场或时变场。若所研究的物理量是一个标量，则该物理量所确定的场称为标量场，例如：温度场、密度场、电位场等都是标量场。在标量场中，各点的场量是随空间位置变化的标量。因此，一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，在直角坐标系中，可表示为 （1.3.1）1.3.1 标量场的等值面在研究标量场时，常用等值面形象直观地描述物理量在空间的分布状况。在标量场中，使标量函数取得相同数值的点构成一个空间曲面，称为标量场的等值面。例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，由电位相同的点构成等位面。对任意给定的常数C，方程 （1.3.2）就是等值面方程。不难看出，标量场的等值面具有如下特点： 常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，因而形成等值面族； 若是标量场中的任一点，显然，曲面是通过该点的等值面，因此标量场的等值面族充满场所在的整个空间； 由于标量函数为单值的，一个点只能在一个等值面上，因此标量场的等值面互不相交，如图1.3.1所示。1.3.2 方向导数 标量场的等值面只描述了场量的分布状况，而研究标量场的另一个重要方面，就是还要研究标场量在场中任一点的邻域内沿各个方向的变化规律。为此，引入了标量场的方向导数和梯度的概念。1.方向导数的概念设为标量场中的一点，从点出发引一条射线，点是射线上的动点，到点的距离为，如图1.3.2所示。当点沿射线趋近于（即）时，比值 的极限称为标量场在点处沿方向的方向导数，记作，即 （1.3.3）从以上定义可知，方向导数是标量场在点M0处沿方向对距离的变化率。当时，标量场沿方向是增加的；当时，标量场沿方向是减小的；当时，标量场沿方向无变化。方向导数值既与点有关，也与方向有关。因此，标量场中，在一个给定点 处沿不同的方向，其方向导数一般是不同的。2. 方向导数的计算公式方向导数的定义是与坐标系无关的，但方向导数的具体计算公式与坐标系有关。根据复合函数求导法则，在直角坐标系中设方向的方向余弦是、，即，则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为 （1.3.4）1.3.3 梯度在标量场中，从一个给定点出发有无穷多个方向。一般说来，标量场在同一点处沿不同的方向上的变化率是不同的，在某个方向上，变化率可能最大。那么，标量场在什么方向上的变化率最大、其最大的变化率又是多少？为了描述这个问题，引入了梯度的概念。1.梯度的概念标量场在点处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量变化率最大的方向、大小等于其最大变化率，并记作，即 （1.3.5）式中是场量变化率最大的方向上的单位矢量。2. 梯度的计算式梯度的定义与坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。在直角坐标系中，若令、，由式（1.3.4）可得到 （1.3.6）由于是与方向l无关的矢量，由式（1.3.6）可知，当方向l与矢量G的方向一致时，方向导数的值最大，且等于矢量G的模。根据梯度的定义，可得到直角坐标系中梯度的表达式为 （1.3.7）在矢量分析中，经常用到哈密顿算符“”（读作“del”或“Nabla”），在直角坐标系中 （1.3.8）算符具有矢量和微分的双重性质，故又称为矢性微分算符。因此，标量场的梯度可用哈密顿算符表示为 （1.3.9）这表明，标量场的梯度可认为是算符作用于标量函数的一种运算。圆柱坐标系中和球坐标系中，梯度的计算式分别为 （1.3.10） （1.3.11）3. 梯度的性质标量场的梯度具有以下特性： 标量场的梯度是一个矢量场，通常称为标量场所产生的梯度场； 标量场中，在给定点沿任意方向l的方向导数等于梯度在该方向上的投影； 标量场中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向增加的方向。例1.3.1 已知，。证明：（1） ；（2）；（3）。其中：表示对x、y、z的运算，表示对、的运算。解：（1）将代入式（1.3.7），得（2）将代入式（1.3.7），得（3）根据梯度的运算公式（1.3.7），得到同理故得在电磁场中，通常以表示源点的坐标，以表示场点的坐标，因此上述运算结果在电磁场中非常有用。1.4 矢量场的通量与散度若所研究的物理量是一个矢量，则该物理量所确定的场称为矢量场。例如：力场、速度场、电场等都是矢量场。在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。因此，一个矢量场可以用一个矢量函数来表示。在直角坐标系中可表示为 （1.4.1）一个矢量场可以分解为三个分量场，在直角坐标系中 （1.4.2）式中、和是分别沿x、y和z方向的三个分量。1.4.1矢量场的矢量线对于矢量场，可用一些有向曲线来形象地描述矢量在空间的分布，称为矢量线。在矢量线上，任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同，如图1.4.1。例如，静电场中的电场线，磁场中的磁场线等，都是矢量线的例子。一般地，矢量场中的每一点都有矢量线通过，所以矢量线也充满矢量场所在的空间。设矢量场、是场中的矢量线上任一点，其矢径为则其微分矢量 在点M处与矢量线相切。根据矢量线的定义可知，在点M处与共线，即，于是有 （1.4.3）这就是矢量线的微分方程组。解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。例1.4.1 设点电荷q位于坐标原点，在周围空间任一点处产生的电场强度矢量 式中为介电常数，求电场强度矢量的矢量线。解： ，由式（1.4.3）可得到矢量线的微分方程组为由此方程组可解得 （、为任意常数）这是从点电荷q所在处（坐标原点）发出的射线束，如图1.4.2所示。1.4.2 通量 在分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量是一个重要的基本概念。设为一空间曲面，为曲面上的面元，取一个与此面元相垂直的单位矢量，则称矢量 （1.4.4）为面元矢量。的取法有两种情形：一是为开曲面上的一个面元，这个开曲面由一条闭合曲线C围成，选择闭合曲线C的绕行方向后，按右螺旋法则规定的方向，如图1.4.3所示；另一种情形是为闭合曲面上的一个面元，则一般取的方向为闭曲面的外法线方向。在矢量场中，任取一面元矢量，矢量与面元矢量的标量积定义为矢量穿过面元矢量的通量。将曲面上各面元的相加，则得到矢量穿过曲面的通量，即 （1.4.4）例如：在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。如果是一闭合曲面，则通过闭合曲面的总通量表示为 （1.4.5）由通量的定义不难看出，若从面元矢量的负侧穿到的正侧时，与相交成锐角，则通过面积元的通量为正值；反之，若从面积元的正侧穿到的负侧时，与相交成钝角，则通过面积元的通量为负值。式（1.4.5）中的则表示穿出闭曲面内的正通量与进入闭曲面的负通量的代数和，即穿出曲面的净通量。当时，则表示穿出闭合曲面的通量多于进入的通量，此时闭合曲面内必有发出矢量线的源，称之为正通量源。例如，静电场中的正电荷就是发出电场线的正通量源；当时，则表示穿出闭合曲面的通量少于进入的通量，此时闭合曲面内必有汇集矢量线的源，称之为负通量源。例如，静电场中的负电荷就是汇聚电场线的负通量源；当时，则表示穿出闭合曲面的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通量源与负通量源的代数和为零，或闭合曲面内无通量源。1.4.3 散度矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内的每一点的通量特性。为了研究矢量场在一个点附近的通量特性，需要引入矢量场的散度。1. 散度的概念在矢量场中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面，当所限定的体积以任意方式趋近于零时，则比值 的极限称为矢量场在点M处的散度，并记作，即 （1.4.6）(a) divF0(b) divF0(c) divF0图1.4.4 散度的意义由散度的定义可知，表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。若，则该点有发出矢量线的正通量源；若，则该点有汇聚矢量线的负通量源；若，则该点无通量源（如图1.4.4）。2.散度的计算式 根据散度的定义，与体积元的形状无关，只要在取极限过程中，所有尺寸都趋于零即可。在直角坐标系中，以点为顶点作一个很小的直角六面体，各边的长度分别为、，各面分别与各坐标面平行，如图1.4.5所示。矢量场穿出该六面体的表面的通量在计算前、后两个面上的面积分时，、对积分没有贡献，并且由于六个面均很小，所以根据泰勒定理所以于是得到同理可得因此，矢量场穿出六面体的表面S的通量根据式（1.4.6），得到散度在直角坐标系中的表达式 （1.4.7）利用算符，可将表示为 （1.4.8）类似地，可推出圆柱坐标系和球坐标系中的散度计算式，分别为 （1.4.9） （1.4.10）1.4.4散度定理 矢量分析中的一个重要定理是 （1.4.11）上式称为散度定理（或高斯定理）。图1.4.6体积的剖分现在来证明这个定理。如图1.4.6所示，将闭合面包围的体积分成许多体积元：、，计算每个体积元的小闭合面（）上穿出的的通量，然后叠加。由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好等值异号，求和时就互相抵消了。除了邻近面的那些体积元外，所有体积元都是由几个与相邻体积元间的公共表面包围而成的，这些体积元的通量的总和为零。而邻近面的那些体积元，它们有部分表面是面上的面元，这部分表面的通量没有被抵消，其总和恰好等于从闭合面穿出的通量。因此有由式（1.4.7）得，（）故得到这就证明了式（1.4.11）。式（1.4.11）表明，矢量场的散度在体积上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合面上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，是矢量分析中的一个重要的恒等式，在电磁理论中非常有用。例1.4.2 已知，。求矢量在处的散度。解：根据散度的运算公式（1.4.7），有 1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的散度描述了通量源分布情况，反映了矢量场的一个重要性质。反映矢量场的空间变化规律的另一个重要性质是矢量场的环流和旋度。1.5.1 环流矢量场沿场中的一条闭合路径C的曲线积分 （1.5.1）dlFC图1.5.1闭合路径称为矢量场沿闭合路径C的环流。其中是路径上的线元矢量，其大小为、方向沿路径C的切线方向，如图1.5.1所示。矢量场的环流与矢量场穿过闭合曲面的通量一样，都是描述矢量场性质的重要的量。例如：在电磁学中，根据安培环路定理可知，磁场强度沿闭合路径C的环流就是通过以路径C为边界的曲面S的总电流。因此，如果矢量场的环流不等于零，则认为场中有产生该矢量场的源。但这种源与通量源不同，它既不发出矢量线也不汇聚矢量线。也就是说，这种源所产生的矢量场的矢量线是闭合曲线，通常称之为旋涡源。从矢量分析的要求来看，希望知道在每一点附近的环流状态。为此，在矢量场中的任一点M处作一面元，取为此面元的法向单位矢量。当面元保持以为法线方向而向点M处无限缩小时，极限称为矢量场F在点M处沿方向的环流面密度，记作，即 （1.5.2）由此定义不难看出，环流面密度与面元的法线方向有关。例如：在磁场中，如果某点附近的面元方向与电流方向重合，则磁场强度的环流面密度有最大值；如果面元方向与电流方向有一夹角，则磁场强度的环流面密度总是小于最大值；当面元方向与电流方向垂直时，则磁场强度的环流面密度等于零。这些结果表明，矢量场在点M处沿方向的环流面密度，就是在该点处沿方向的旋涡源密度。1.5.2 旋度 1.旋度的概念由于矢量场在点M处的环流面密度与面元的法线方向有关，因此，在矢量场中，一个给定点M处沿不同方向，其环流面密度的值一般是不同的。在某一个确定的方向上，环流面密度可能取得最大值。为了描述这个问题，引入了旋度的概念。矢量场在点M处的旋度是一个矢量，记作（或记作），它的方向沿着使环流面密度取得最大值的面元法线方向、大小等于该环流面密度最大值，即 （1.5.3）式中是环流面密度取得最大值的面元正法线单位矢量。由旋度的定义不难看出，矢量场在点M处的旋度就是在该点的旋涡源密度。例如，在磁场中，磁场强度H在点M处的旋度就是在该点的电流密度J。矢量场在点M处沿方向的环流面密度等于在该方向上的投影，如图1.5.2所示，即 （1.5.4）图1.5.2 在方向上的投影2. 旋度的计算式旋度的定义与坐标系无关，但旋度的具体表达式与坐标系有关，下面推导在直角坐标系中旋度的表达式。如图1.5.3所示，以点为顶点，取一个平行于面的矩形面元，则面元矢量为。在点处的矢量沿回路的积分为 故此极限即是在方向上的投影。相似的，分别取面元矢量、，用与上面相同的运算，可得到分别在和方向上的投影为因此，我们得到 （1.5.5）利用算符，可将表示为 （1.5.6）上式亦可写成 （1.5.7）采用同样的方法，可导出在圆柱坐标系中的表达式为 （1.5.8）或写成 （1.5.9）在球坐标系中，的表达式为 （1.5.10）或写成 （1.5.11）1.5.3斯托克斯定理在矢量场所在的空间中，对于任一个以曲线C为周界的曲面S，存在如下重要关系式 （1.5.12）图1.5.4 曲面的划分上式称为斯托克斯定理，它表明矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场在限定曲面的闭曲线C上的线积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系，也是矢量分析中的一个重要的恒等式，在电磁理论中也是很有用的。为了证明式（1.5.12），将曲面S 划分成许多小面元，如图1.5.4所示。对每一个小面元，沿包围它的闭合路径取的环流，路径的方向与大回路C一致，并将所有这些积分相加。可以看出，各个小回路在公共边界上的那部分积分都相互抵消，因为相邻小回路在公共边界上积分的方向是相反的，只有没有公共边界的部分积分没有抵消，结果所有沿小回路积分的总和等于沿大回路C的积分，即对沿每一个小回路的积分应用式（1.5.2），得这样上式右边的总和就是在曲面S上的面积分，即，从而证明了式（1.5.12）。例1.5.1 已知，。求矢量在处的旋度.解：根据旋度的运算公式（1.5.7），有1.6无旋场与无散场矢量场散度和旋度反映了产生矢量场的两种不同性质的源，相应的，不同性质的源产生的矢量场也具有不同的性质。1.6.1 无旋场如果一个矢量场的旋度处处为零，即则称该矢量场为无旋场，它是由散度源所产生的。例如，静电场就是旋度处处为零的无旋场。标量场的梯度有一个重要性质，就是它的旋度恒等于零，即 （1.6.1）在直角坐标系中很容易证明这一结论。直接取的旋度，有因为梯度和旋度的定义都与坐标系无关，所以式（1.6.1）是普遍的结论。根据式（1.6.1），对于一个旋度处处为零的矢量场，总可以把它表示为某一标量场的梯度，即如果，存在标量函数，使得 （1.6.2）函数称为无旋场的标量位函数，简称标量位。式（1.6.2）中的有一负号，为的是使其与电磁场中电场强度和标量电位的关系相一致。由斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径C的环流等于零，即这一结论等价于无旋场的曲线积分与路径无关，只与起点P和终点Q有关。由式（1.6.2），有若选定点Q为不动的固定点，则上式可看作是点P的函数，即 （1.6.3）这就是标量位u的积分表达式，任意常数取决于固定点Q的选择。将式（1.6.2）代入式（1.6.3），有 （1.6.4）这表明，一个标量场可由它的梯度完全确定。1.6.2 无散场如果一个矢量场的散度处处为零，即则称该矢量场无散场，它是由旋涡源所产生的。例如，恒定磁场就是散度处处为零的无散场。矢量场的旋度有一个重要性质，就是旋度的散度恒等于零，即 （1.6.5）在直角坐标系中证明这一结论时，直接取的散度，有根据这一性质，对于一个散度处处为零的矢量场，总可以把它表示为某一矢量场的旋度，即如果，则存在矢量函数，使得 （1.6.6）函数称为无散场的矢量位函数，简称矢量位。由散度定理可知，无散场通过任何闭合曲面的通量等于零，即1.7拉普拉斯运算与格林定理1.7.1 拉普拉斯运算标量场的梯度是一个矢量场，如果再对求散度，即，称为标量场的拉普拉斯运算，记为 或 这里“”或“”称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中，由式（1.3.7）和式（1.4.8），可得到 （1.7.1）由式（1.3.10）和（1.4.10），可得到圆柱坐标系中的拉普拉斯运算 （1.7.2）由式（1.3.11）和（1.4.11），可得到球坐标系中的拉普拉斯运算 （1.7.3）对于矢量场，由于算符对矢量进行运算时以失去梯度的散度的概念，因此将矢量场的拉普拉斯运算定义为 （1.7.4）在直角坐标系中将以上两式代入式（1.7.4），可求得同理可得和，于是得到 （1.7.5）必须注意，只有对直角分量才有（）。1.7.2 格林定理格林定理又称为格林恒等式，是由散度定理导出的重要数学恒等式。在散度定理中，令，其中和是体积内的两个任意标量函数，则有由于，于是得到格林第一恒等式 （1.7.6）式中是闭曲面上的外法向导数。将式（1.7.6）中的与对调一下，则有 （1.7.7）将式（1.7.6）与式（1.7.7）相减，即得到格林第二恒等式 （1.7.8）格林定理描述了两个标量场之间满足的关系，如果已知其中一个场的分布，可以利用格林定理求解另一个场的分布。因此，格林定理在电磁场中有着广泛的应用。1.8 亥姆霍兹定理矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度，一个矢量场所具有的性质，可由它的散度和旋度来说明。而且，可以证明：在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布）惟一地确定，且可表示为 （1.8.1）其中 （1.8.2） （1.8.3）这就是亥姆霍兹定理。它表明：（1）矢量场可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和来表示。此标量函数由的散度和在边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由的旋度和在边界面S上的切向分量完全确定；（2）由于、，因而一个矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和。即 （1.8.4）其中， （1.8.5）（3）如果在区域V内矢量场的散度与旋度均处处为零，则由其在边界面S上的场分布完全确定；（4）对于无界空间，只要矢量场满足 （1.8.6）则式（1.8.2）和（1.8.3）中的面积分项为零。此时，矢量场由其散度和旋度完全确定。因此，在无界空间中，散度与旋度均处处为零的矢量场是不存在的。因为任何一个物理场都必须有源，场是同源一起出现的，源是产生场的起因。必须指出，只有在连续的区域内，和才有意义，因为它们都包含着对空间坐标的导数。在区域内如果存在不连续的表面，则在这些表面上就不存在的导数，因而也就不能使用散度和旋度来分析表面附近的场的性质。亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，其意义是非常重要的。分析矢量场时，总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程的微分形式；或者从矢量场沿闭合曲面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到矢量场的基本方程的积分形式。思考题1如果是否意味着?为什么？2如果是否意味着?为什么？3两个矢量的点积能为负的吗？如果是，必须是什么情况？4什么是单位矢量？什么是常矢量? 单位矢量是否为常矢量？ 5在圆柱坐标系中，矢量，其中、为常数，则是常矢量吗？为什么？ 6在球坐标系中，矢量，其中为常数，则能是常矢量吗？为什么？ 7什么是矢量场的通量？通量的值为正、负、或零分别表示什么意义？ 8什么是散度定理？它的意义是什么？ 9什么是矢量场的环流？环流的值为正、负、或零分别表示什么意义？ 10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？斯托克斯定理能用于闭曲面吗？11如果矢量场能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性？12如果矢量场能够表示为一个标量函数的梯度，这个矢量场具有什么特性？13只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？14无旋场与无散场的区别是什么？习 题1.1 给定三个矢量、和如下：求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；（7）和；（8）和。1.2 三角形的三个顶点为、和。（1）判断是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。1.3 求点到点的距离矢量及的方向。1.4 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。1.5 给定两矢量和，求在上的分量。1.6 证明：如果和，则；1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。1.9 用球坐标表示的场，（1）求在直角坐标中点处的和；（2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。1.10 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为1.11 已知标量函数，求在点的处沿指定方向的方向导数。1.12 已知标量函数。（1）求；（2）在哪些点上等于零。1.13 方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。1.14 利用直角坐标，证明1.15 一球面的半径为，球心在原点上，计算： 的值。1.16 已知矢量，试确定常数、使为无源场。1.17 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。1.18 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。1.19 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。1.20 在球坐标系中，已知矢量，其中、和均为常数。（1）问矢量是否为常矢量；（2）求和。1.21求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面的面积分，验证斯托克斯定理。1.22 求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。1.23 证明：（1）；（2）；（3）。其中，为一常矢量。1.24 一径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢？ 1.25 给定矢量函数，试求从点到点的线积分：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？ 1.26 试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式。1.27 现有三个矢量、为（1） 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。1.28 利用直角坐标，证明1.29 证明1.30 利用直角坐标，证明1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。 25 .