电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第7章 导行电磁波

第7章 导行电磁波7.1基本内容概述电磁波在导波系统中的传输问题，可归结为求解满足特定边界条件的波动方程。根据其解的性质，可了解在各种导波装置中各种模式电磁波的场分布和传播特性。7.1.1沿均匀导波系统传播的波的一般特性所谓均匀导波系统是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截面上，导波装置具有相同的截面形状和截面面积。设均匀导波系统的轴向为z轴方向，则电场和磁场可分别表示为 (7.1a) (7.1b) 根据麦克斯韦方程，可得到横向场分量与纵向场分量的关系式中：为截止波数，为传播常数，为波数。由上式可知，在波导电磁场的6个分量中，独立的只有2个，即。只要知道则可求出全部场分量。而纵向场分量和满足的标量波动方程为 (7.3a) (7.3b) 7.1.2 导行电磁波的三种模式根据纵向场分量和存在与否，可将导波系统中电磁波分为三种模式。（1）横电磁波（TEM）：传播常数： (7.4) 相速度： (7.5) 波阻抗： (7.6) （2）横磁波（TM）：满足标量波动方程：其传播条件： （工作频率大于截止频率）传播常数： (7.7)波导波长： (7.8)相速度： (7.9)波阻抗： (7.10)（3）横电波（TE）；满足标量波动方程：其传播条件： （工作频率大于截止频率）传播常数、波导波长、相速度与式(7.7)、(7.8)、(7.9)相同波阻抗： (7.11)平行双线、同轴线这一类能建立二维静态场的导波系统，可以传输TEM波；空心波导只能传输TE波和TM波。7.1.3 矩形波导中传播的TM波和TE波的场分布横截面尺寸为的矩行波导中传播的TM波的场分量为 (7.12a) (7.12b) (7.12c) (7.12d) (7.12e) (7.12f) 式中： (7.13)m、n取非零的正整数。取不同的m、n值，代表不同的模式，表示为模，其最低阶模为。横截面尺寸为的矩行波导中传播的TE波的场分量为 (7.14a) (7.14b) (7.14c) （7.14d） (7.14e) (7.14f)m、n可取正整数和零，但不能同时取零。取不同的m、n值，代表不同的模式，表示为模，其最低阶模为。7.1.4矩形波导中波的传播参数在空心波导中，能传输的模式应满足的条件是或，即工作频率高于该模式的截止频率（或工作波长小于该模式的截止波长）截止频率和截止波长 (7.15) (7.16) 波导波长、相速度、波阻抗分别与式(7.8)、(7.9)、(7.10)、(7.11)相同。7.1.5 矩形波导中的主模截止波长最长的模式称为主模，矩形波导中的主模是模，其截止波长。7.1.6 圆柱形波导的电磁场表示式圆柱形波导中电场和磁场可分别表示为圆柱形波导中，纵向场分量与横向场分量的关系 (7.17a) (7.17b) (7.17c) (7.17d) 纵向场分量和满足的标量波动方程分别为 (7.18a) (7.18b) 圆柱形波导中的主模是模，相应的截止波长为（a为圆柱形波导横截面的半径）。7.1.7 同轴波导内导体半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充电参数为、的理想介质，内外导体为理想导体的同轴波导。由于是双导体波导，因此它既可以传播TEM波，也可以传播TE波、TM波。对于TEM波的场分布 (7.19a) (7.19b) (7.19c) (7.19d) 传播常数 (7.20) 相速度 (7.21) 波阻抗 (7.22) 同轴波导一般都是以TEM模（主模）方式工作。但是，当工作频率过高时，在同轴波导中还将出现一系列的高次模：TM模和TE模。同轴波导中和的截止波长分别为 （7.23）7.1.8 谐振腔的主要参数谐振腔是频率很高时采用的谐振回路，其主要参数是谐振频率和品质因素。矩形谐振腔的谐振频率为 (7.24) 7.1.9 传输线上的电压波和电流波传输线中，随时间变化的电压和电流满足的波动方程为 (7.25) 式中：，称为传播系数；称为衰减系数；称为相位系数。波动方程的通解为 (7.26a) (7.26b)式中：，常数由传输线的边界条件确定。当给定传输线的终端电压和终端电流时，线上任意一点的电压、电流为上式说明传输线上任意一点的电压和电流以波的形式存在，且是由入射波和反射波叠加而成。7.1.10 传播特性参数特性阻抗：定义为传输线上任意一点的行波电压与行波电流之比。对于无损耗线 (7.27) 输入阻抗：传输线上任意一点的总电压与总电流之比称为该点的输入阻抗。对于无损耗线 (7.28) 反射系数 (7.29) 式中：称为终端反射系数。对于无损耗线 （7.30）驻波系数 (7.31) 7.1.11传输线上的三种工作状态因终端负载不同，传输线上存在三种不同的工作状态：（1）行波状态（）（2）驻波状态（）；（3）混合波状态（）。7.2教学基本要求及重点难点讨论7.2.1 教学基本要求波导中的纵向场分析法是求解波导中场分布的重要方法，要求理解该方法的思路。对于该方法中涉及到有关物理量如传播常数、截止波数等是讨论波导中波传播特性的关键。必须牢固掌握其物理意义和计算公式。波导中三种模式的传播条件和传播特性是这一章的重点，必须牢固掌握三种模式的分类方法和传播特性参数如截止频率（截止波长）、相位常数、波导波长、相速度、波阻抗的计算公式。并应用它们分析具体给定波导中不同模式的传播特性。对于矩形波导的主模是实现单模传输的模式，要求对其场分布、场图及管壁电流分布有所了解，并掌握波导尺寸设计的原理。“等效电路法”是求解TEM波传输线的方法之一，要求掌握分布参数的概念，建立传输线方程，理解传输线上电压波、电流波的特点。TEM波传输线的特性参数、波的传播特点及工作状态分析也是这一章的重点，要求掌握特性阻抗、输入阻抗、反射系数、终端反射系数、驻波系数的定义、计算公式和物理意义。掌握传输线三种不同工作状态的条件和特点。关于谐振腔，要求了解振荡模式的特点，掌握谐振频率的计算公式，理解品质因数的物理意义，了解其计算方法。7.2.2 重点、难点讨论1不同模式的传播条件由均匀导波系统的假设，根据麦克斯韦方程可将波导中的横向场分量用纵向场分量表示。而纵向场分量和满足的标量波动方程为（TM波），和（TE波），式中称为截止波数，可令，称为截止角频率，由此定义截止频率、截止波长。对于不同类型、不同尺寸的导波系统（边界条件不同），该波动方的解(或)和相应的值不同。例如尺寸为的矩形波导中的TM波的 ，。不同的m、n取值，的场分布不同、截止波数不同。由均匀导波系统中场量的表示式可知，只有当传播常数为纯虚数时，该电磁波才能在波导中传播，否则电磁波将在波导中很快衰减。利用，得到使为纯虚数的条件是，即（工作频率大于截止频率）。2TEM波传输线理论在双导体导波系统中可传播TEM波，而该模式的电场和磁场没有纵向分量。根据麦克斯韦方程和电压的定义，可以建立电场和两导体间电压以及磁场和传输线上电流的一一对应关系，因此电磁场的传播特性与电压、电流的传播特性是相同的。而对于电压和电流的分析可以用电路的方法。事实上传输线理论在电路理论与电磁场的理论之间起着桥梁的作用。电路理论与传输线理论之间的关键不同处在于电尺寸。电路分析假设一个网络的实际尺寸远小于工作波长，而传输线的长度则可与工作波长相比拟或为数个波长。因此，一段传输线是一个分布参数网络，电压和电流的振幅和相位都将发生变化，这些变化可以看成是因为沿线的导体上存在电阻、电感，导体间存在电容和漏电导。其影响分布在传输线的每一点，故称为分布参数。传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线上电压和电流变化规律及相互关系的微分方程。根据前面的分析，它可以从场的角度以某种特定的TEM传输线导出，也可以从路的角度，由分布参数得到的传输线模型导出。7.3 习题解答7.1 为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？题7.1图解 因为矩形波导中的主模为模，而由的管壁电流分布可知，在波导宽边中线处只有纵向电流。因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布，也不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。(如题7.1图)7.2 下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在模式的截止频率。（1）；（2）。 解 截止频率当介质为空气时，。（1）当，工作模式为（m=1、n=1），其截止频率为 （2）当，工作模式仍为（m=1,n=1），其截止率为题7.3图xaozyb由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率无关。7.3 推导矩形波导中模的场分布式。解 对于TE波有应满足下面的波动方程和边界条件： （1）由均匀导波系统的假设将其代入式(1)，得 （2）其中该方程可利用分离变量法求解。设其解为： (3) 将式(3)代入式(2)，然后等式两边同除以，得上式中等式左边仅为x的函数，等式右边仅为y的函数，要使其相等，必须各等于常数。于是，该式可分离出两个常微分方程 (4a) (4b) (5) 式(4a)的通解为 (6) 由于在x=0和x=a的边界上，满足 ，由纵向场与横向场的关系，得则在x=0和x=a的边界上，满足 ， 于是将其代入式 (6)得所以 同理得式(4)的通解满足的边界条件为，于是得所以，得到矩形波导中TE波的纵向场分量式中由激励源强度决定。本征值为利用纵向场与横向场的关系式可求得TE波的其他横向场分量7.4 设矩形波导中传输模，求填充介质（介电常数为）时的截止频率及波导波长。解 截止频率对于模（m=1、n=0），得波导波长 式中为无界空间介质中的波长。7.5 已知矩形波导的横截面尺寸为，试求当工作波长时，波导中能传输哪些波型？时呢？解 波导中能传输的模式应满足条件 或 在矩形波导中截止波长为由传输条件当时上式可写为能满足传输条件的m和n为（1）当时，有，对应的传播波型有：；（2）当时，有，对应的传播波型有：；（3）当时，有，对应的传播波型有：；（4）当时，有，对应的传播波型有：；（5）当时，有，对应的传播波型有：；故当工作波长时，波导中能传输的波型有：、。当时，应满足（1）当时，有，无传播波型；（2）当时，有，对应的传播波型有：；（3）不满足条件。故当时只能传输模。7.6 试推导在矩形波导中传输波时的传输功率。解 波导中传输的功率可由波导横截面上坡印廷矢量的积分求得。对于波，有式中为波阻抗。矩形波导中 于是 式中，7.6 试设计一个工作波长的矩形波导。材料用紫铜，内充空气，并且要求模的工作频率至少有的安全因子，即，此处和分别表示波和相邻高阶模式的截止频率。解 由题给：，即若用波长表示，上式变为即由此可得 选择：为防止高次模的出现，窄边b的尺寸应满足考虑到传输功率容量和损耗情况，一般选取故设计的矩形波导尺寸为7.8 试设计一个工作波长的圆柱形波导，材料用紫铜，内充空气，并要求波的工作频率应有一定的安全因子。解 模是圆柱波导中的主模，为保证单模传输，应使工作频率大于模的截止频率而小于第一次高模的截止频率，即 和 于是得所以圆柱形波导的半径a应满足选择7.9 求圆柱形波导中波的传输功率。解 波导中传输的功率可由波导横截面上坡印廷矢量的积分求得。对于波圆柱形波导中的模的场分量由贝塞尔函数的递推公式因为m=0，则所以而由电场切向分量为零的边界条件可知则所以故得到圆柱形波导中模的传输功率为7.10 设计一个矩形谐振腔，使在1GHz及1.5GHz分别谐振于两个不同模式上。解 矩形谐振腔的谐振频率为若使在1GHz及1.5GHz分别谐振于矩形谐振腔的及两个不同模式上，则它们的谐振频率分别为则将以上二式相减得可得将其代入式（2）得所以尺寸b可取为于是该矩形谐振腔的尺寸为7.11 由空气填充的矩形谐振腔，其尺寸为a=25mm、b=12.5mm、d=60mm，谐振于模式，若在腔内填充介质，则在同一工作频率将谐振于模式，求介质的相对介电常数应为多少？解 矩形谐振腔的谐振频率为当填充介质为空气时模的谐振频率为当填充介质的介电常数为时，模的谐振频率为由题给条件得7.12 平行双线传输线的线间距D=8cm，导线的直径d=1cm，周围是空气，试计算：(1) 分布电感和分布电容；(2) f=600MHz时的相位系数和特性阻抗。解 （1）双线传输线分布电容分布电感（2）时，得 7.13 同轴线的外导体半径，内导体半径，填充介质分别为空气和的无耗介质，试计算其特性阻抗。解（1）填充空气时故特性阻抗（2） 时，故7.14 在构造均匀传输线时，用聚乙烯（）作为电介质。假设不计损耗。（1）对于300的平行双线，若导线的半径为0.6mm，则线间距应选多少？（2）对于75的同轴线，若内导体的半径为0.6mm，则外导体的半径应选多少？解 （1）双线传输线，设a为导体半径，D为线间距，则有即故线间距（2）同轴线传输线，设a为内导体半径，b为外导体内半径，则有即则外导体的内半径7.15 试以传输线输入端电压和电流以及传输线的传播系数和特性阻抗表示线上任意一点的电压分布和电流分布。（1）用指数形式表示；（2）用双曲函数表示。解 传输线上电压和电流的通解形式为，式中传播系数和特性阻抗分别为对于输入端：，有联立求解得可得用双曲函数表示7.16 一根特性阻抗为50、长度为2m的无损耗传输线工作于频率200MHz，终端接有阻抗，试求其输入阻抗。解 无损耗线的输入阻抗而，所以故7.17 一根75的无损耗线，终端接有负载阻抗。（1）欲使线上的电压驻波比等于3，则和有什么关系？（2）若，求等于多少？（3）求在（2）情况下，距负载最近的电压最小点位置。解 (1) 由驻波比与反射系数的关系对于无损耗线即所以解得（2）将代如上式，得 （3）终端反射系数传输线的电压分布电压的幅值波节点出现在第一波节点出现在即解得 7.18 考虑一根无损耗传输线，（1）当负载阻抗时，欲使线上驻波比最小，则线的特性阻抗应为多少？（2）求出该最小的驻波比及相应的电压反射系数。（3）确定距负载最近的电压最小点位置。解 （1）因为驻波比S要最小，就要求反射系数最小。对于无损耗线其最小值可由求得故（2）将代入反射系数公式，得最小驻波比为（3）终端反射系数由上题的结论，电压的第一个波节点应满足即解得 7.19 有一段特性阻抗为的无损耗线，当终端短路时，测的始端的阻抗为 的感抗，求该传输线的最小长度；如果该线的终端为开路，长度又为多少？解 （1）终端短路线的输入阻抗为 即 所以将 代入上式得传输线的长度为（2）终端开路线的输入阻抗为即 得将 代入上式得传输线的长度为7.20 求如题7.20图示的分布参数电路的输入阻抗。题7.20图解 设传输线无损耗，则输入阻抗为当传输线长度时 （阻抗变换性）当传输线长度时 （阻抗还原性）（a） （b）支节支节支节（c）支节支节支节（d）支节支节支节7.21 求题7.20图中各段的反射系数及驻波系数。解 终端反射系数反射系数驻波系数(a) (b) 支节支节支节(c) 支节、支节(d) 支节支节支节724