材料力学-第五章

第九单元（2）第五章弯曲应力 5-2弓|言以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。本章主要研 究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。实际上，这也是最常见的情 况。三种静定梁固定铰简支梁可动铰（链杆）悬臂梁固定端 5-2剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还精选文本存在弯矩。Q，M “ +”符号:使保留段顺时针转 使保留段内凹符号:二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即称为剪力方程与弯矩方程。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。例1：1.求支反力MB 0Rb乎My 0校核（为保证正确，要求校核）MA 02.建立Q ,M方程（截面法）AB段：Q1Raxi4aM1RAX14PX1X14aBC段：Q2X2m2Px2X2也可以只建一个坐标系,BC 段：Q2 P 4axi5a例2:1.2.ABM2 P 5a x1（分布截荷，注意力系简化条件支反力Ra:Q1M方程RA qx14aX15aRb 8qaB 343qa qX1x1 3aM1RAx11 2412qx:qax1qx:0 x1 3a2 32BC : Q2 qx20 x2 a41a2m21 2二 qx；0x2a23.画 Q，M图第10单元铰链：传力，不传力矩刚性接头，传力又传力矩刚架中N、Q , M可能同时存在内力符号N（拉正压负）Q（使研究对象顺时针转为正）M （不规定正负，画在受压一侧）有教材将竖杆看作横杆延伸部分的作图，但对于上图的三竖杆刚架将 出现十、一号规定的自相矛盾。因此不规定正负号，画在受压一侧。具体画时, 自行规定正向，但不标出正负号，如下图，左、右两观察者得出的弯矩正负号 不同，图会画在同一侧。土木类教材将弯矩图画在受拉侧，如孙训芳“材料力精选文本M方程AB :Mxi2-qx10 x1 aBC :MX21 22qa0 x2 aDC :MX31 qax3-qa2在没有集中力偶处，刚性接头两端弯矩相等，图在同一侧例：平面曲杆：轴线为平面曲线，N Q MM :画在受压一侧（列Q M方程时，采用曲线坐标，一般用极坐标）直线段：M x1 2 2-qx2 qa20 x2a圆弧段：M1 2 2 - qa2 qa2 sin022精选文本（1.可去掉右边一段，代之以反力和反力偶，2.弧坐标）例：（双杠的力学模型）支座设于何处，P最大?分析：在载荷运动中，梁有两危险截面，即支座处和中点，最大弯矩随长 度X变化，规律相反。“等强”，使两种危险情形的最大弯矩相等，实现最大弯矩为最小1.P位于梁中点（弯矩用红线）maxP I 2x2 2P I 2x42.P位于梁端点maxPx3.等强MmaxPMmax : 4 1 2xPx即外伸部分为中间部分的1/4，本问题为等强原则的推广。 5-3 剪力、弯矩与载荷集度间的微 （积）分关系（本节研究载荷集度、剪力、弯矩三者的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中 的应用）微段的平衡：坐标系x向左为正，载荷q（x），向上为正函数在一点的展开的泰勒公式:f X。 h f X。f xo hf 2!x。h2Q Q x0dQdxdx一、微（积）分关系(5.1)(5.2)(5.3)Fy0 Q qdx Q dQ 0Mc 0dxM dM qdxQdx M 02略去二阶微量，得dQdxdMdxd2Mdx2精选文本上述三个关系式的力学意义：微段的平衡几何意义（为用于作Q M图，将仔细研究）。（上面的推导是对均布载荷而言。集中载荷在力学上是咼度集中的分布力的抽象，在数学上代表一个奇异点。在这点，函数值发生跳跃）如图：当 0, qP，保持常值，变为集中力Q图的跳跃，下面就一般情形研究此问题:/ +r I rT略去咼阶微量Mc 0集中力偶情形:对于集中力情形,Q右Fy 0（ 几何意义:P向上，Q图向上跳跃）连续）Q右Q左连续M右M左Mo（M。顺时针，M图向上跳跃）从数学上看，剪力、弯矩图就是函数的图象，因此可以利用函数的各种性质，包括微分和积分性质，总结出画剪力弯矩图的快捷方法。dQdxd2Mdx2：qdx :qxdx几何意义（用来绘制剪力弯矩图）正向规定：x轴，P, q （由剪力、弯矩方程绘图时，不必加此限制。由微积分关系画图，如正向规定不同，某些量会改变符号）Q图：斜率二q, q二常数：直线0上斜0下斜P 点跳，（P上指，Q图上跳）（任意截面）Qq图左边面积+集中力（含支反力）M图：斜率二QM0点跳（M顺时针，M上跳）Q 0, M极值（或拐点）0凹凸性：q （比喻：雨落伞凸面）（任意截面）M Q图左边面积+集中力偶（含支反力偶）第十单元例：利用q、Q、M的微分关系绘制Q、M图 1.分段、段值ABBCQqaqaqaqaM0qa2qa2qa22.利用微分关系连线ABBCQ水平斜上M斜下在绘图中，计算端值是较费时的，这可以利用积分关系解决4HaAt*极值点，补算M 5qa24例：利用微分积分关系绘制剪力弯矩图1. 求支反力2. Q 图（从零开始）A点：向上跳（支反力向上）AB :水平q 0B 点：下跳qa，水平C点：连续2D点：上跳qa2,（校核：回到零点）33.M 图A点：0AB :直线斜上1B点：Q图左边面积-qa23BC :直线斜下1C 点：Q图左边面积 -qa2，外力偶顺时针，上跳qa23CD直线斜下D点：Q图左边面积+外力偶=0校核：回到零点例：Q图：A :上跳qaAB:水平B :连续BC :直线斜下C :左载荷图（负）面积下跳3qaCD:水平D :上跳4qa回零（回零校核很重要）M图：（从零开始）A :上跳3qa2AB :斜上直线B : Q左图面 积 3qa2 4qa2E : Q图零点，1 2M图极值4 qa24BC :曲线，（q 0, “顶肚 皮”）C : Q左边面积 3qa2 4qa2CD :斜下直线D : Q图左边面积3qa20，回零点作校核 例：梁间铰，Q连续，M： =01.求反支力Ra qa，Ma qa（注意必须折开，先分析BD段）2.Q 图A :上跳qaAB :水平B :连续（无须考虑铰）BC :斜下:下跳qa2:q 0:回至U 0C :（载荷图qa BC段面积）=0，连续 BC : q 0CCD:斜上CDD :载荷图左边面积 qa qaD精选文本下跳qa到零3. M图：A :下跳qa2B : -qa+Q图左边面积等于零（不须考虑铰，但该出等于零可作校核） 思考：为什么画剪力、弯矩图时不须考虑中间铰答：求约束反力时已利用了中间铰条件，中间铰处M=0可作校核。例：三角形分布载荷的剪力、弯矩图1. 载荷图（题中为工程载荷图，此处数学坐标形式）（将载荷图用数学坐标形式表示，有助于利用微积分关系画剪力弯矩图）两点式：yo q0,ya 0y q。y X q。a2. 剪力图A 点：上跳qoaAC点：qod 2 Q(由载荷图d Qdx2dqdx下跳q0a(d2Qdx2CB也0) dx点：上跳qoa到0,校核3.弯矩图:抛物线面积(1),aqo 212ox dxqa ；a3(2),fqa2。例(P159, 5.5a):剪力、弯矩图的反问题，已知 Q M图，求q图Q:2qa（1）利用剪力图画集中力和分布力A点：上跳2q0a，代表向上集中力2q0aq dQ Q图斜率2qa q0，代表向下均布载荷q0dx2a 利用弯矩图画集中力偶 A点和B点均下跳q0a2代表此两点都作用有逆时针力偶q0a2（3） 受约束的静定梁形式不是唯一的，见图示两例。微积分关系也用于作刚架的剪力、弯矩图。一一刚架可看作分段的梁第11单元内力及内力图小结融汇贯通所学知识，熟练掌握内力图画法.内力（广义）N、T、Q、M （轴力、扭矩、剪力、弯矩）1力学：平衡关系理力：刚体的平衡，求约束反力（外力） 材力：构件一部分的平衡，求内力（截面法）（将构件另一部分看作约束，与理力求约束反 力的相同）刚体平衡：代数方程微段的平衡：微分关系式取研究对象后：由刚化原理、可应用刚体的 平衡方程（从这个角度认识问题，就不必再归纳： 在变形体力学中，力的可传性原理适用吗？力系是 否可简化等等问题）2. （从）数学（角度）：内力函数及其图象（1） 内力符号（a） NT、Q与坐标无关，需标正负号。（b） M与坐标相关（凹凸性暗含了坐标上指还是下指），标正负号，画在受压侧，物理属性与坐标无关。作图a. 利用内力函数（Q、M方程，T、N方程）微分关系定线形b. 直接作图 积分关系求段值（也可由截面法）c. 刚架一一看作分段的梁3. 工程（意义）内力分布规律的形象化对比剪流、电力线、磁力线课堂练习第12单元 5-4 弯曲正应力引言“一点失效”概念，求maxmax（主要应力，见图）对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，外力作用在此面内，变形对称于纵 向对称面。对称纯弯曲：（矩形截面梁的纯弯，从简单到复杂分析方法，应力分布未知, 内力静不定问题）几（变形关系-应变分布规律）物（应力分布规律）静力学（应力大小） 一、几何方面1. 外部变形（观测）（1）纵向线（成同心圆弧，靠顶面缩短，底部 伸长）（2）横向线（仍为直线，相对转动，与纵线正交）（3）纵横线变形比（实验量测符合泊松比） （利用上面观测的现象，对内部变形作假设）2. 内部变形（假设）(1) 平面假设(从(1)和(2)，横截面变形后保持平面，与梁轴正交，截面间 相对转动。)(2) 单向受力假设(从，纵向纤维仅受正应力，无横向挤压应力。此条假 设是从几何假设到物理假设)重要推论：既然弯曲时，一侧纵向纤维伸长，一侧缩短，总有一个面既不伸长，也不缩短。中性层，中性轴(横截面与中性层交线)中性层 中性轴3.正应变公式(平面假设的数学描述)/I/7/乙1任取梁-微段dx，变形前ab dxd ，变形后a ba b ab yd也(a)dx d(a)式代表了梁中纵坐标为y的任一 “纤维”的正应变，它是平面假设的数学描述)二、物理方面由胡克定律与式(利用了单向受力假设)三、静力学方面(1)A dA 0EA ydA 0ycF 为板厚。E E 丫 (条件p ，即线弹性)(b)1.式(b)表明：横截面正应力沿高度线性变化，沿宽度不变2. (1) 未知，(2)中性轴位置未知，无法计算。它们由静力学方程解决AydA 0(中性轴过形心)均质薄板的重心，即板中面形心，(2) Ay dA M-Ay2dA MAy2dA 0对z轴的惯性矩1，El :截面弯曲刚度Elz上式即用曲率表示的弯曲变形公式，代（5-4）令lz(5-4)到(b)My(5-5)此即弯曲正应力一般公式。四、最大弯曲正应力（令5-5中yymax）max矩形lzy max抗弯截面模量。圆形（空心）lzbh312乞164Wzbh26D332（ d D，d、D分别为管的内外径）型刚的lz, W查教材表P310-313,附录F。附录A极惯性矩与惯性矩（P291）（截面的几何性质）杆件中的应力和变形，不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关，我 们已学过d 4IP方圆）Izd464（圆）Wz, Wp等等我们还将遇到一些新的表征截面几何性质的量，为方便以后的研究，下面 从纯几何的角度集中研究这个问题。 A-1 静矩与形心回顾数学与理力中的重心计算公式（以y坐标为例）ycvydPp对于均质薄板，重心与形心（几何中心）重合Ay hdAAydAhA(1)AAzdA(2)A定义静矩（一次矩）SzAydASyAZdA代入（1）和（2）SzycASyZCA通过截面形心的坐标称为形心轴，截面对面的静矩为零。（自学P293,例1） A-2 极惯性矩Ipa 2dA(P2294,自学） A-3 轴惯性矩I zAy2dA， IyAz2dA分别称为对z轴与y轴的惯性矩1.对形心轴的惯性矩积分，三角形，矩形见 P296-2972y2z2IPIx Iy对圆：Ip 2Ix 2Iy2.平行移轴定理对任意轴的惯性矩的计算，除了直接积分外，还可以利用平行移轴定理IzAy2dAAyoa2dAAy0dA 2a AydAa2AJ。a2Ai）对比理力相应公式（刚体转动惯量的平行移轴定理）JzJz Md2ii）对两任意轴，平行移轴定理是否成立？Iz2Izia2A不成立，召不是形心轴，推导的中间项不为零组合公式：根据面积积分等于它各部分面积积分之和的原理，我们得出组合公式lzAi y2dAA2 y2dA静矩 SySyi , SzSzii 1i 1形心YcnSzii 1nAYic（Yic, A形心坐标）Ai 1负面积法：上述公式中，取整体减孔洞Yc第13单元 5-5 矩形与薄壁截面梁的弯曲剪应力已经研究了纯弯梁的正应力，现在研究横力弯曲，由剪力Q引起的剪应力问题：剪应力是否沿横截面分布？如果均布，由剪应力互等，上表面剪应力 为零将导致截面剪应力为零，矛盾。历史(提出此方法)，D.J.Jourawski(1821-1891)，俄国铁路工程师，枕木 开裂，材力分析法。Sai nt Ve nant精确解，特殊情形。一、矩形截面梁的弯曲剪应力（考虑dQ仅增加平衡方程中高阶微量） 1假定/侧边（剪应力互等） 沿b均布2.平衡（截取微段）（y沿高度变化，难以直接研究，利用剪应力互等,水平面不变，且与有平衡关系）FiF2dA M ydAIzM dMSzydA SzIzIzbdxF2FidMdx3.dMdxSzbizQS.y分布A的形心ycSzycAy2代入上式3Q2bh4y2h2max3Q2bh3 Q-Q（为平均剪应力1.5倍）2 A由于剪应力存在，平面假设不精确成立，矛盾解法I h 5时，相当精确。二、对称薄壁梁的弯曲剪应力1. 尺寸参数（截面中心线，壁厚t）2. 分布（1） /中心线（互等）（2）沿厚度均布（因薄）2.的大小（思路：与求矩形截面剪应力一样，从开口处截取一微段，直接求横截面剪应力 困难，利用剪应力互等，转化为求纵向截面剪应力。dx微段，s任意长）s tdx tdx F2F1FiF2dA ydA Sz Iz-M dMQSzIztIzM Qdx-iT4.剪流q s工字形截面(1)腹板剪应力方向取单元块，在图示剪力 Q下，dM为正。F2 F1单元块纵向剪应力向前横截面剪应力向右。(2)上述判别麻烦，可由剪流比拟得到形象直观的简单判别。在腹板上剪流方向与Q同，其余依它定。比较闭口薄壁杆扭转q条永远循环的恒定河,q(s)形成的“河”一一沙漠河，开始有水渗出，河水渐多，过中性轴后渗漏, 直至水消失。翼缘Sz16 h2 h2t1QSz81Izti腹板SzbH2 h2t h2y22442 4Q yb H2 h2t h24y28IztQmaxbH2 bt h28IztzB点剪应力为A点的2倍，C点剪应力最大。闭口薄壁梁，根据对称性，A端的剪应力 为0,可以取一半分析，见取出微体F2dX1，长2s 0，F2，F1（两阶无穷小）,0。对工字梁，由于腹板存在，F2和F10得出腹板剪流为翼缘2倍的结论三、弯曲正应力与弯曲剪应力比较P1142 例 5-11，自学实心细长梁，弯曲剪应力较正应力小得多，可忽略，薄壁截面梁，弯曲剪 应力通常不能忽略。 5-6梁的强度条件、弯曲正应力强度条件maxJMWZ max等截面直梁,maxM maxWzt ：许用拉应力c :许用压应力。二、弯曲剪应力强度条件maxQSz,maxTZT maxQ S等截面直梁:max Z,maxmax1 zL非薄壁截面细长梁，通常只需按弯曲正应力条件分析，对薄壁截面或非薄壁但弯矩小，剪力大的梁（短粗梁，集中载荷作用在端点附近的梁 ），还应考虑弯曲剪应力条件。例（P144）：t 35MPa， c 140MPa，q 25Nmm,试校核强度。一、画弯矩图，截面D,B为危险截面，见上图,a,b为危险点截面D:caMdIzy2t bMdIz y1截面B:t ac b|mbIzy1MbMD,y1 y2且都受压，因而可不算可先比较截面d上b中MDy与截面b上a中|MBy2的大小。（校核三点。）例(P145): P=20kN I 6m，100MPa，60MPa，选工字钢解:(1)maxPl4maxMmaxWzMmax3.09105mm3309cm3（查表，见 p293,注意单位）#22a(3) 校核矩形截面应力叠加圆截面先将弯矩合成maxMyAMzaWyWzmax第14单元 5-7梁的合理强度设计maxMy匚MWZ%薄壁y设计梁的主要依据是弯曲正应力强度，也就是尽可能降低式（a）的数值。梁的合 理设计可从以下几个方面考虑。（正应力为主导因素）、梁的合理受力（降低最大弯矩Mmax）（1）合理置支座（从设计方案考虑）双杠,等强，MmaxMmin&i*2xPx汽车主梁，后轮位置设计， maMb(2)分散载荷(从使用方案考虑)m AM图:(3)加配重(特殊措施)二人过桥，1人可作配重2.合理设计截面形状（增大抗弯截面模量WZ）Wz*，通常，保持面积不变，增大Iz时，同时也使ymax增大，这时ymax要看哪个是主导因素（i） iz iz0 y；A,y2总是为正。保持面积不变，使材料远离中性层,并利用等强概念，a.塑性材料上、下对称 抗弯更好，抗扭差b.脆性材料c调整下翼缘尺寸，使y1：y2c： t，但是截面太高太薄也不行，可能剪应力破坏或失稳。（2） 削去远离中性轴的小部分面积Iz441 x a12(1)部分X J2a 3 (2)部分Wz有极大值WZ9wz 121 1 91 3 9105349711242 3WZa312当x增加时，3 1 3xx 2 1 3xIz单调下降，但 Wz先增加后下降。dWzdx1 9x 1 x 0提高5.35%,可见削去远离中性轴的小部分材料，梁的刚度总是减小，强度却可 能增加。3.变截面梁和等强度梁（式a在各处为常量）各截面等强M x PxM xaW xWxh xbh2 x66Px ,b3P2bh，h。3P2b（从剪应力考虑）（加工方便）由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁1和2处等强b t,半径R，求压平后Omaxmax E E曽 1合理截面设计，减薄加宽（保持Iz不变）。例2:铸铁工字形截面梁，跨中腹板钻孔，求圆孔位置的合理方案。位置最好，中性轴下移，拉应力减小四川大足县佛雕，邱少云烈士雕塑手持冲锋枪，手臂易断。大佛手托宝塔披袈裟。烈士手持枪加斗篷，利用配重，解决了强度问题。伽利略是材料力学创始人，但在梁弯曲应力上的错误。 5-9 弯拉（压）组合与截面核心一、弯拉（压）组合的应力由叠加原理NMmaxyA IzmaxmaxWlz适用范围：横向位移 与横向高度相比可忽略。二、偏心压缩与截面核心PP zzP yyA _|T中性轴正应力为零:1 /A IyyyIz例5-17 :压缩载荷沿轴线，中性轴在无穷远，弯矩（无穷远趋于压缩载荷），中性轴过形心。当偏心压力位于第一象限时，（杆内横截面）角点C的正应力为P 6P z 6P ybh hb2bh2精选文本6令上式等于0得（坐标换为yZ ）6一y图象见上右图，当载荷位置从1移动到2时，中性轴绕C点旋转。例18和19,应用强度条件，截面设计可能要经多次修改完成