数学文高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题五第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析

A级基础通关一、选择题1(2019北京卷)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A.B4C2D.解析：由双曲线方程y21，得b21，所以c2a21.所以5e21.结合a0，解得a.答案：D2抛物线y22px(p0)经过点M(x0，2)，若点M到焦点F的距离|MF|3，则抛物线的方程为()Ay24x By22x或y24xCy28x Dy24x或y28x解析：因为点M(x0，2)在y22px上，所以82px0，得x0.又|MF|3，得3，解得p2或p4.所以抛物线方程为y24x或y28x.答案：D3(2018全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A. B. C. D.解析：不妨设a0，由焦点F(2，0)，知c2.所以a24c28，则a2.因此离心率e.答案：C4(2019长郡中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与(x2)2(y1)21相切，则()A. B. C. D.解析：易知双曲线C的一条渐近线方程为axby0.又渐近线与圆(x2)2(y1)21相切，所以1，则(2ab)2a2b2.所以3a4b，因此.答案：B5(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.解析：设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设PQ与OF交于点M，连接OP，如图所示则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得2a2，故，离心率e.答案：A二、填空题6(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析：因为双曲线x21(b0)经过点(3，4)，则91(b0)，解得b，即双曲线方程为x21，因此双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx7(2019珠海调研)已知直线l是抛物线y22px(p0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F，且与直线l相切，则抛物线的方程为_解析：由已知圆心在OF的中垂线上，故圆心到准线的距离为p，所以p3，所以p4，故抛物线的方程为y28x.答案：y28x8(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)答案：(3，)三、解答题9(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.10(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：2|.证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P(1，)，|，于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.B级能力提升11(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点如图不妨设A(0，b)，由F2(1，0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22，椭圆C的方程为1.答案：B12(2019天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|2|OB|(O为原点)(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x4上，且OCAP.求椭圆的方程解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意a2b.又a2b2c2，消去b，得a2c2，解得.所以，椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a2c，bc，故椭圆方程为1.由题意，F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)点P的坐标满足消去y并化简，得到7x26cx13c20，解得x1c，x2.代入到l的方程，解得y1c，y2c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x4上，可设C(4，t)因为OCAP，且由(1)知A(2c，0)，故，解得t2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得2，可得c2.所以，椭圆的方程为1.