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第26课 函数yAsin(x)的图象及应用最新考纲内容要求ABC函数yAsin(x)的图象与性质1yAsin (x)的有关概念yAsin(x)(A0，0，x0)，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示xx02yAsin(x)0A0A03.由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致()(2)将y3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y3sin.()(3)函数f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(4)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I5sin，t0，)，则电流I变化的初相、周期分别是_，由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T.3(2017如皋市高三调研一)将函数f(x)sin的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为_f(x)cos 2xf(x)sinysinsincos 2x.4将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则|的最小值为_把函数ysin(2x)沿x轴向左平移个单位后得到函数ysin 2sin为偶函数，则|的最小值是.5若函数ysin(x)(0)的部分图象如图261，则_.图2614由图象可知，x0x0，所以T，所以4.函数yAsin(x)的图象及变换已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象. 【导学号：62172143】解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连结，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象规律方法1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x确定平移单位2用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定变式训练1(1)(2016全国卷)函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象至少向右平移_个单位长度得到(2)(2017苏北四市联考)将函数ysin 2x的图象向左平移(0)个单位，若所得的图象过点，则的最小值为_(1)(2)(1)ysin xcos x2sin，函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象向右平移个单位长度得到(2)函数ysin 2x的图象向左平移(0)个单位，则ysin(2x2)，由sin得，22k或22k，kZ，即k或k，kZ，的最小正值为.求函数yAsin(x)的解析式(1)(2016全国卷改编)函数yAsin(x)的部分图象如图262所示，则相应函数的解析式为_图262(2)已知函数yAsin(x)b(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为_(填序号)y4sin；y2sin2；y2sin2；y2sin2.(1)y2sin(2)(1)由图象知，故T，因此2.又图象的一个最高点坐标为，所以A2，且22k(kZ)，故2k(kZ)，结合选项可知y2sin.(2)由函数yAsin(x)b的最大值为4，最小值为0，可知b2，A2.由函数的最小正周期为，可知，得4.由直线x是其图象的一条对称轴，可知4k，kZ，从而k，kZ，故满足题意的是y2sin2.规律方法确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.变式训练2(2017泰州模拟)函数f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象如图263所示，则f的值为_图2631由图象可得A，最小正周期T4，则2.又fsin，解得2k(kZ)，即k1，则f(x)sin，fsinsin1.函数yAsin(x)图象与性质的应用(2016天津高考)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.设A，BxkZ，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减规律方法讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数变式训练3(2017无锡期中)已知函数f(x)2sin(x)的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号：62172144】解(1)f(x)的图象过点，sin .又0，又相邻两条对称轴间的距离为，周期为，即，2，f(x)2sin.令2k2x2k，其中kZ，则kxk，其中kZ，函数f(x)的单调增区间是，kZ.(2)由已知得：g(x)f2sin，即g(x)2sin2cos.x，2x，故当2x即x时，g(x)ming2；当2x即x0时，g(x)maxg1.思想与方法1由图象确定函数解析式由图象确定yAsin(x)时，的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点2对称问题函数yAsin(x)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)易错与防范1要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数3由ysin x的图象变换到yAsin(x)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的4函数yAsin(x)在xm，n上的最值可先求tx的范围，再结合图象得出yAsin t的值域课时分层训练(二十六)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f_. 【导学号：62172145】0由f(x)sin(0)的最小正周期为，得4，所以fsin0.2将函数ycos 2x1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为_ysin 2xycos 2x1 ycos 21cos1sin 2x1ysin 2x11sin 2x.3(2017苏北四市期末)函数f(x)2sin(x)(0)的部分图象如图264所示，若AB5，则的值为_图264由题图可知3，T6，.4(2016全国卷改编)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为_x(kZ)将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y2sin22sin的图象由2xk(kZ)，得x(kZ)，即平移后图象的对称轴为x(kZ)5某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温值为_ . 【导学号：62172146】205依题意知，a23，A5，y235cos，当x10时，y235cos20.5.6(2016江苏高考)定义在区间0,3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_7法一：函数ysin 2x的最小正周期为，ycos x的最小正周期为2，在同一坐标系内画出两个函数在0,3上的图象，如图所示通过观察图象可知，在区间0,3上两个函数图象的交点个数是7.法二：联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2xcos x解的个数方程可化为2sin xcos xcos x，即cos x(2sin x1)0，cos x0或sin x.当cos x0时，xk，kZ，x0,3，x，共3个；当sin x时，x0,3，x，共4个综上，方程组在0,3上有7个解，故两曲线在0,3上有7个交点7(2017盐城期中)已知直线x过函数f(x)sin(2x)图象上的一个最高点，则f的值为_. 【导学号：62172147】1由题意可知f1，即k，即k.又，所以，f(x)sin.fsinsin 1.8(2017苏州期中)将函数ysin的图象向右平移个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则的值等于_ysinf(x)sin.由f(x)sin为偶函数可知2k，kZ，即，kZ，又0，故.9函数f(x)cos(x)的部分图象如图265所示，且|，则f(x)的单调递减区间为_图265，kZ由图象知，周期T22，2，.2k，kZ，又|，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.10(2017如皋中学高三第一次月考)若函数f(x)Asin(x)的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x，则函数f(x)的最小正周期为_由题意可知f(x)是奇函数，因为k，又|0，所以T2，得1.所以f(x)2sin(x)，将点代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)，又0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上，则t_，s的最小值为_因为点P在函数ysin的图象上，所以tsinsin.所以P.将点P向左平移s(s0)个单位长度得P.因为P在函数ysin 2x的图象上，所以sin 2，即cos 2s，所以2s2k或2s2k，即sk或sk(kZ)，所以s的最小值为.2若函数ycos 2xsin 2xa在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为_(2，1由题意可知y2sina，该函数在上有两个不同的零点，即ya，y2sin在上有两个不同的交点结合函数的图象可知1a2，所以2a1.3已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间解(1)依题意得A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又图象过点P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数f(x)的递增区间为(kZ)4已知函数f(x)2cos2x12cos xsin x(01)，直线x是f(x)图象的一条对称轴(1)试求的值；(2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值解f(x)2cos2x12cos xsin xcos 2xsin 2x2sin.(1)由于直线x是函数f(x)2sin图象的一条对称轴，sin1，k(kZ)，k(kZ)又01，k.又kZ，从而k0，.(2)由(1)知f(x)2sin，由题意可得g(x)2sin，即g(x)2cos x.g2cos，cos.又，sin.sin sinsincos cossin .
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