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第七章数列、推理与证明第33课 数列的概念与简单表示法最新考纲内容要求ABC数列的概念1数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式5数列的递推公式如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式6an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任何一项()答案(1)(2)(3)(4)2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为_15当n8时，a8S8S7827215.3(教材改编)数列1，的一个通项公式an_.由已知得，数列可写成，故通项an.4把1,3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图331)图331则第7个三角形数是_28由题图可知，第7个三角形数是123456728.5数列an满足an1，a82，则a1_.由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3为周期的数列，a1a7.由数列的前几项归纳数列的通项公式写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1,7，13,19，；(4)3,33,333,3 333，. 【导学号：62172180】解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(3)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6.故通项公式为an(1)n(6n5)(4)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)规律方法1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想2若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整，可代入验证归纳的正确性变式训练1(1)数列0，的一个通项公式为_(填序号)an(nN)；an(nN)；an(nN)；an(nN)(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.(1)(2)(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可(2)数列an的前4项可变形为，故an.由an与Sn的关系求通项an已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb. 【导学号：62172181】解(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an规律方法由Sn求an的步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式易错警示：利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误变式训练2已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN)，则an_.2n1由Sn2an4可得Sn12an14(n2)，两式相减可得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，所以数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，则an42n12n1.由递推公式求数列的通项公式根据下列条件，确定数列an的通项公式：(1)a12，an1an3n2；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2.解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合上式，ann2.(2)an12nan，2n1(n2)，ana12n12n2212123(n1)2.又a11符合上式，故an2.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，因此an23n11.规律方法1.已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.2已知a1，且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列易错警示：本题(1)(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式，(3)中常见错误是忽视判定首项是否为零变式训练3(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.思想与方法1数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性2an3由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是：(1)an1anf(n)型，采用叠加法(2)f(n)型，采用叠乘法(3)an1panq(p0，p1)型，转化为等比数列解决易错与防范1数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关2易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号3在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形课时分层训练(三十三)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1数列1，的一个通项公式an_.； .由已知得，数列可写成，故通项为.2已知数列an的前n项和Sn2n，则a3a4_.12当n2时，an2n2n12n1，所以a3a4222312.3在数列1,0，中，0.08是它的第_项10令0.08，得2n225n500，则(2n5)(n10)0，解得n10或n(舍去)a100.08.4已知数列an的通项公式为ann22n(nN)，则“0，即时数列an为递增数列，又nN，.“0，解得n6或nan，求实数k的取值范围解(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)4已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.显然，当n1时也满足上式综上可知，an的通项公式an.
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