高考数学复习 17-18版 第7章 第34课 等差数列及其前n项和

第34课 等差数列及其前n项和最新考纲内容要求ABC等差数列1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列用符号表示为an1and(nN，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫作a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1an an2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案(1)(2)(3)(4)2等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d_.2依题意得S33a26，即a22，故da3a22.3(2017南京模拟)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a8a90，a90，S3S11，则当n为多少时，Sn取得最大值(1)7法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41a42a433a42，同理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42a52a623a52，所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以a527.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有6397，即a527.(2)法一：由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1.从而Snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.变式训练3(1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11_.99因为a3a927a6,2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15_.60因为数列an为等差数列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差数列，设S15x，则10,20，x30成等差数列，所以22010(x30)，所以x60，即S1560.思想与方法1等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，.2等差数列an中，ananb(a，b为常数)，SnAn2Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程3等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列易错与防范1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别3求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件课时分层训练(三十四)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1在等差数列an中，若前10项的和S1060，且a77，则a4_.5法一：由题意得解得a4a13d5.法二：由等差数列的性质有a1a10a7a4，S1060，a1a1012.又a77，a45.2已知数列an是等差数列，且a72a46，a32，则公差d_. 【导学号：62172187】4法一：由题意得a32，a72a4a34d2(a3d)6，解得d4.法二：由题意得解得3设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，a35，Sk2Sk36，则k的值为_8设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2da3a14，得d2，所以an12(n1)2n1，Sk2Skak2ak12(k2)12(k1)14k436，解得k8.4若数列an满足a115，且3an13an2，则使akak10得n23.5，使akak10的k值为23.5(2017苏州期中)等差数列an中，前n项和为Sn，若S48a1，a44a2，则S10_.120an为等差数列，2da4a24，d2.由S48a1得4a128a1，即a13.S101032120.6(2016全国卷改编)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100_.98法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.7已知数列an中，a11且(nN)，则a10_. 【导学号：62172188】由得为首项为1，公差为的等差数列，1(n1)，a10.8设数列an的通项公式为an2n10(nN)，则|a1|a2|a15|_.130由an2n10(nN)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，n5时，an0，所以a3a4，所以a39，a413，所以所以所以通项an4n3.(2)由(1)知a11，d4，所以Snna1d2n2n22.所以当n1时，Sn最小，最小值为S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n，所以bn，所以b1，b2，b3.因为数列bn是等差数列，所以2b2b1b3，即2，所以2c2c0，所以c或c0(舍去)，经验证c时，bn是等差数列，故c.B组能力提升(建议用时：15分钟)1设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_an，bn为等差数列，.，.2(2017南京模拟)设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为_bn2n1设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k，所以数列bn的通项公式为bn2n1.3已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列4(2017苏北四市摸底)已知数列an满足2an1anan2k(nN，kR)，且a12，a3a54.(1)若k0，求数列an的前n项和Sn；(2)若a41，求数列an的通项公式an.解(1)当k0时，2an1anan2，即an2an1an1an，所以，数列an是等差数列设数列an的公差为d，则解得所以，Snna1d2nn2n.(2)由题意，2a4a3a5k，即24k，所以k2.又a42a3a223a22a16，所以a23，由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2.所以，数列an1an是以a2a11为首项，2为公差的等差数列所以an1an2n3.当n2时，有anan12(n1)3，于是，an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，叠加得，ana12(12(n1)3(n1)(n2)，所以an23(n1)2n24n1(n2)，又当n1时，a12也适合所以数列an的通项公式为ann24n1，nN.