资源描述
第44课 两条直线的位置关系最新考纲内容要求ABC直线的平行关系与垂直关系两条直线的交点两点间的距离、点到直线的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间的距离d1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于_1由题意得1，即|a1|，又a0，a1.3直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_(2，2)直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)4已知直线l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，则实数a的值为_2由2，得a2.5若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为_由l1l2，得a(a2)13，a3或a1.但a3时，l1与l2重合，舍去，a1，则l1：xy60，l2：xy0.故l1与l2间的距离d.两条直线的平行与垂直(1)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件. 【导学号：62172240】(2)过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为_(1)充分不必要(2)2xy10(1)当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件(2)直线x2y30的斜率为，从而所求直线的斜率为2.又直线过点P(1,3)，所以所求直线的方程为y32(x1)，即2xy10.规律方法1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论另外当A2B2C20时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便变式训练1已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为_10l1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，(2)1，解得n2，mn10.两直线的交点与距离问题(1)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程. 【导学号：62172241】(1)x3y50或x1法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)，直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6x0，y0)，由题意知解得即A，从而直线l的斜率k8，直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.规律方法1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数2利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等变式训练2若直线l过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点，且AB5，求直线l的方程解过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时AB5，即直线l的方程为x1.设过点A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得x且y(k2，否则l与l1平行)则B点坐标为.又A(1，1)，且AB5，所以2252，解得k.因此y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.对称问题(1)平面直角坐标系中直线y2x1关于点(1,1)对称的直线方程是_(2)光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，则BC所在的直线方程是_(1)y2x3(2)10x3y80(1)法一：在直线l上任取一点P(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2x,2y)必在直线y2x1上，2y2(2x)1，即2xy30.因此，直线l的方程为y2x3.法二：由题意，l与直线y2x1平行，设l的方程为2xyc0(c1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，解得c3.因此所求直线l的方程为y2x3.法三：在直线y2x1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，1)由两点式求出对称直线MN的方程为，即y2x3.(2)作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.迁移探究1在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y2x1的对称点”，则结果如何？解设点A(1,1)关于直线y2x1的对称点为A(a，b)，则AA的中点为，所以解得故点A(1,1)关于直线y2x1的对称点为.迁移探究2在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线xy0对称”，则结果如何？解在直线y2x1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线xy0的对称点为M(1,0)，点B关于直线xy0的对称点为N(3,1)，根据两点式，得所求直线的方程为，即x2y10.规律方法1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称2解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上变式训练3直线x2y10关于直线xy20对称的直线方程是_2xy10由题意得直线x2y10与直线xy20的交点坐标为(1,1)在直线x2y10上取点A(1,0)，设A点关于直线xy20的对称点为B(m，n)，则解得故所求直线的方程为，即2xy10.思想与方法1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法易错与防范1判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等课时分层训练(四十四)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1已知点A(1，2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是_3因为线段AB的中点在直线x2y20上，代入解得m3.2(2016北京高考改编)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为_圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线yx3即xy30的距离为.3若直线(a1)x2y0与直线xay1互相垂直，则实数a的值等于_1由1，得a12a，故a1.4(2017苏州模拟)已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，则cos的值为_依题设，直线l的斜率k2，tan 2，且0，)，则sin ，cos ，则coscossin 22sin cos .5已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_. 【导学号：62172242】2，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.6若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点_(0,2)直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)7当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第_象限二由得又0k，则0，即x0，从而两直线的交点在第二象限8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin Aayc0与直线bxysin Bsin C0的位置关系是_. 【导学号：62172243】垂直在ABC中，由正弦定理，得1.又xsin Aayc0的斜率k1，bxysin Bsin C0的斜率k2，因此k1k21，两条直线垂直9经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_5x3y10由方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)l3的斜率为，l的斜率为，则直线l的方程为y2(x1)，即5x3y10.10l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，1)的两条平行直线，当l1与l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x2y30当ABl1时，两直线l1与l2间的距离最大，由kAB2，知l1的斜率k，直线l1的方程为y1(x1)，即x2y30.二、解答题11已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程. 【导学号：62172244】解依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC为2xy110，联立lAC、lCM得C(4,3)设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.12已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50.点A(5,0)到l的距离为3，3，则22520，2或，l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立)，dmaxPA.B组能力提升(建议用时：15分钟)1若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是_4因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100.欲求m2n2的最小值可先求的最小值，而表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2n2的最小值为4.2(2017南京模拟)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使PM4，则称该直线为“切割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是_(填序号)yx1；y2；yx；y2x1.设点M到所给直线的距离为d，d34，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；d24，故直线上不存在点P，使之到点M的距离等于4，不是“切割型直线”故填.3已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)法一：当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此时两直线的斜率相等故当k，kZ时，l1l2.法二：由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin .所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.4已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得直线l恒过定点(2,3)(2)设直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，直线l的斜率kl5.故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70.
展开阅读全文