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第32课 复数最新考纲内容要求ABC复数的概念复数的四则运算复数的几何意义1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫作复数zabi的模，即|z|abi|.2复数的几何意义复数zabi复平面内的点Z(a，b)平面向量(a，b)3复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.i(cdi0)(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图321所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZOZ1OZ2，.图3211(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ()答案(1)(2)(3) (4)2.(教材改编)如图322，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是_图322B共轭复数对应的点关于实轴对称3(2016江苏高考)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_5因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.4(2016北京高考改编)复数_.i法一：i.法二：i.5(2015江苏高考)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_z234i，|z2|z|2|34i|5，|z|.复数的有关概念(2016全国卷改编)若z12i，则_.i因为z12i，则12i，所以z(12i)(12i)5，则i.(2)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_2由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数可得a20,12a0，解得a2.规律方法1.解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可2求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解变式训练1(1)已知i为虚数单位，复数z的虚部为_. 【导学号：62172171】(2)(2017泰州中学高三摸底考试)已知复数z满足(1i)zi，则的模为_(1)(2)(1)复数zi，则其虚部为.(2)(1i)ziz|.复数代数形式的四则运算(1)已知复数z满足(z1)i1i，则z_.(2)(2016天津高考)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_(1)2i(2)2(1)(z1)ii1，z11i，z2i.(2)(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，1ba且1b0，得a2，b1，2.规律方法1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i；(2)i；(3)i；(4)baii(abi)；(5)i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i(nN)变式训练2(1)已知1i(i为虚数单位)，则复数z_.(2)已知i是虚数单位，82 018_.(1)1i(2)1i(1)由1i，得z1i.(2)原式81 009i81 009i8i1 0091i425211i.复数的几何意义(1)(2016全国卷改编)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是_(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2_. 【导学号：62172172】(1)(3,1)(2)5(1)由题意知即3m1.故实数m的取值范围为(3,1)(2)z12i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(2,1)，即z22i，z1z2(2i)(2i)i245.规律方法1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观变式训练3定义运算adbc，则符合条件0的复数对应的点在第_象限二由题意得z2i(1i)(i)0，所以zi，则i在复平面内对应的点为，位于第二象限思想与方法1复数分类的关键是抓住zabi(a，bR)的虚部：当b0时，z为实数；当b0时，z为虚数；当a0，且b0时，z为纯虚数2复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数3化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁易错与防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3利用复数相等abicdi列方程时，应注意a，b，c，dR的前提条件4注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20在复数范围内有可能成立课时分层训练(三十二)A组基础达标(建议用时：30分钟)1(2017苏州模拟)设复数zi12i(i是虚数单位)，则z_.2i由zi12i得z2i.2(2017苏锡常镇二模)已知(ai)22i，其中i是虚数单位，那么实数a_. 【导学号：62172173】1由(ai)22i得a212ai2i，故即a1.3(2017无锡模拟)若复数z满足(2i)z43i(i为虚数单位)，则|z|_.由(2i)z43i，得|(2i)z|43i|，即|z|5，|z|.4(2016全国卷改编)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a_.3(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3.5(2016全国卷改编)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|_.(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，yx1.|xyi|1i|.6(2017泰州期末)如图323，在复平面内，点A对应的复数为z1，若i(i为虚数单位)，则z2_.图3232i由图可知，z112i，z2z1i(12i)ii2.7(2017南京模拟)设abi(i为虚数单位，a，bR)，则ab_.12i.又由abi2i可知 ，a2，b1，ab211.8(2017苏州模拟)复数z(a0)，其中i为虚数单位，|z|，则a的值为_. 【导学号：62172174】5z，且|z|，a5.9若z43i，则_.iz43i，43i，|z|5，i.10已知复数z1，则1zz2z2 019_.0z11i，1zz2z2 0190.11已知aR，若为实数，则a_.i.为实数，0，a.12已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_. 【导学号：62172175】|z2|，(x2)2y23.由图可知max.B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知复数z1i，z2i，则下列命题中错误的是_(填序号)zz2；|z1|z2|；zz1；z1，z2互为共轭复数依题意，注意到z2iiz2，因此正确；注意到|z1|1|z2|，因此正确；注意到iz2，因此正确；注意到zzz121，同理z1，因此zz0，错误2设f(n)nn(nN)，则集合f(n)中元素的个数为_3f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素3已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_3或6MN3，3M且1M，m1,3(m25m6)i3或m3，m25m60且m1或m3，解得m6或m3.4已知复数z1cos 15sin 15i和复数z2cos 45sin 45i，则z1z2_.iz1z2(cos 15sin 15i)(cos 45sin 45i)(cos 15cos 45sin 15sin 45)(sin 15cos 45cos 15sin 45)icos 60sin 60ii.
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