2018届江苏省南京市高三上学期期中考试 数学文

2018届江苏省南京市高三上学期期中考试 数学文一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1. 已知集合A2，3，5，Bx|2x4，则AB_. 2. 若复数z满足z(1i)2i，其中i是虚数单位，则复数z_. 3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为奇数的概率是_. 4. 某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则该校高三学生共有_人. 5. 下面是一个算法的伪代码如果输出的y值是30，那么输入的x值是_. 6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6的值为_ 7. 若曲线y在点(3，2)处的切线与直线axy30垂直，则实数a的值为_. 8. 已知函数f(x)sin，xR，若f(x)在区间上的最大值和最小值分别为a，b，则ab的值为_ 9. 已知奇函数f(x)的图象关于直线x2对称，当x0，2时，f(x)2x，那么f(6)的值为_. 10. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bca，2sinB3sinC，则cosA的值为_. 11. 已知ab0，ab1，则的最小值等于_. 12. 在ABC中，已知AB4，AC，BC，M为边AB的中点，P是ABC内(包括边界)一点，则的最小值是_. 13. 设函数y的图象上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是_(e为自然对数的底数)14. 在平面直角坐标系中，已知O1与O2交于P(3，2)，Q两点，两圆半径之积为.若两圆均与直线l：ykx和x轴相切，则直线l的方程为_. 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)设向量a(sinx，cosx)，b(1，1)，c(1，1)，其中x0，(1) 若(ab)c，求实数x的值；(2) 若ab，求函数sin的值. 16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点. (1) 若PD平面ACE，求证：E为PB的中点；(2) 若ABPC，求证：CG平面PBD. 17. (本小题满分14分)如图，把一块边长为30cm的正六边形铁皮剪去阴影部分，制成一个正六棱柱形的无盖容器设容器的底面边长为xcm，棱柱的高为hcm，容积为Vcm3.(1) 求出V关于x的函数关系式V(x)；(2) 当容器的底面边长为多大时，无盖容器的容积最大？最大是多少？18. (本小题满分16分)已知椭圆C：y21(a1)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆C的离心率为e. (1) 若点A的坐标为，求椭圆C的方程；(2) 记AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上. 证明为定值；设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围. 19. (本小题满分16分)设函数f(x)x3ax，aR，g(x)xex，h(x)(e为自然对数的底数)(1) 当a0时，求函数f(x)的极值；(2) 若函数h(x)的最小值为，求实数a的取值范围；(3) 当h(x)g(x)时，求实数a的值. 20. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax3，g(x)bx1cx2(a，b，c是实数)且gg(1)f(0)(1) 试求b，c所满足的关系式；(2) 若b0，方程f(x)g(x)在(0，)有唯一解，求实数a的取值范围；(3) 若b1，集合Ax|f(x)g(x)且g(x)0，试求集合A. 密封线_号学_名姓_级班_校学南京市20172018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. 2，32. 1i3. 4. 6005. 2或56. 127. 28. 19. 410. 11. 912. 413. 14. y2x15. (1) ab(sinx1，cosx1)因为(ab)c，所以sinx1cos x1，则sinxcosx2，可得22，故sin1.因为x0，所以x，故x，解得x.(2) 因为ab，所以sinxcosx，即sinxcosx，可得2，故sin.因为，所以sinsincos.由x0，可得x，又sin0.因为sin2cos21，所以cos.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD是正方形知O为BD的中点因为PD平面ACE，PD平面PBD，平面PBD平面ACEOE，所以PDOE.在PBD中，PDDE，O为BD为中点，所以E为PB的中点(2) 在四棱锥PABCD中，ABPC，因为四边形ABCD是正方形，所以ACAB2OC，则ABOC，所以PCOC.在CPO中，PCOC，G为PO的中点，所以CGPO.因为PC底面ABCD，BD底面ABCD，所以PCBD.因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，因为AC，PC平面PAC，ACPCC，所以BD平面PAC，因为CG平面PAC，所以BDCG.因为PO，BD平面PBD，POBDO，所以CG平面PBD.17. (1) 由题意可知A1B1CDx，CA1DB1h，则AC(ABx)(30x)，hACtan60(30x)，故V(x)Sh6(30x)x2(30x)，0x0；当x(20，30)时，V(x)0，所以V(x)在(0，20)单调递增，在(20，30)单调递减，所以当且仅当x20时，V(x)取得最大值9 000.答：当容器的底面边长为20cm时，容器的容积最大，最大容积为9 000 cm3.18. (1) 由题意知1，即，所以3a416a2160，解得a24或a2.所以椭圆C的方程为y21或y21.(2) 设F2(c，0)，A(x1，y1)，则F1(c，0)，B(x1，y1)，故M，N.由题意，得0.化简，得xyc2，(cx1，y1)(cx1，y1)xyc20(定值)由题意得到k2(a42a2)1.因为k，所以a42a2(0，3，即0a42a23，解得20时，令f(x)0，得x1，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x时，f(x)取极大值f()，当x时，f(x)取极小值f.(2) g(x)(x1)ex.当x1时，g(x)0；当x1时，g(x)ln 2，p(x)0；当x0，所以p(x)max2ln 220时，问题转化为ap(x)在R上恒成立；当x0时，不等式恒成立，则aR；当x0时，p(x)p(0)1，所以a1；当xp(0)1，所以a1.综上所述，a1.20. (1) 由gg(1)f(0)，得(2b4c)(bc)3，故b、c所满足的关系式为bc10.(2) 方法一：由b0，bc10，可得c1.方程f(x)g(x)，即ax3x2，可转化为ax33x210在(0，)上有唯一解令h(x)ax33x21，则h(x)3ax26x3x(ax2)当a0时，h(x)0，h(1)a20时，令h(x)0，得x0或x，所以h(x)在上单调递减，在(，)上单调递增，所以h(x)minh1.若h0，即a2，则当x(0，)时，h(x)0，当且仅当x时，h(x)0，即h(x)在(0，)上有唯一的零点；若h0，则当x(0，)时，h(x)0恒成立，即h(x)在(0，)上不存在零点；若h0，h10，所以h(x)在和内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一综上所述，实数a的取值范围是(，0)2方法二：由方法一可知a3x1x3.令x1t，则由题意可得a3tt3在(0，)上有唯一解令h(t)3tt3(t0)，则由h(t)33t20，可得t1，当0t0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t1时，由h(t)0，可知h(t)是在(1，)上是单调减函数，故当t1时，h(t)取得最大值2；当0th(0)0，所以f(x)g(x)在(0，1)无解；当t1时，因为h()0，所以当t时，h(t)g(x)且g(x)且x0，即ax23x10且x0时，A；当a0时，A；当a时，A(，0)；当a0时，A(，)(，0)数学附加题21. B. 由题意知M，则，所以解得所以M.由|M|7得M1. C. 因为cos sin ，即2cos sin ，所以圆C的直角坐标方程为x2y2xy0，即1，所以圆心的直角坐标为.因为直线的普通方程为xy40，所以圆心C到直线l距离是5，故直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2.22. (1) 如图，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)设平面A1BC1的法向量为n1(x，y，z)，则即取z3，则x0，y4，所以平面A1BC1的一个法向量为n1(0，4，3)同理可得平面BB1C1的一个法向量为n2(3，4，0)，所以cosn1，n2.因为n1，n20，所以二面角A1BC1B1的正弦值为.(2) 假设存在设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且，01，则(x，y3，z)(4，3，4)，所以x4，y33，z4，所以(4，33，4)因为ADA1B，所以0，即9250，解得. 因为0，1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，此时.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C35(种)取法其中X的三角形如ABF，这类三角形共有6个，所以P(X). (2)由题意，X的可能取值为，2，2，3.其中X的三角形如ABF，这类三角形共有6个；其中X2的三角形有两类，如PAD(3个)，PAB(6个)，共有9个；其中X的三角形如PBD，这类三角形共有6个；其中X2的三角形如CDF，这类三角形共有12个；其中X3的三角形如BDF，这类三角形共有2个，因此P(X)，P(X2)，P(X)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的概率分布列为X223P