大学物理：第一章质点运动学

第第 2 页页第二节第二节 质点运动的描述质点运动的描述一、参考系一、参考系 坐标系坐标系 参考系（参考系（Reference Frame） ：确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那么这么这物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。 坐标系（坐标系（Coordinates） ：确定了参考系后，为了能够定量地描确定了参考系后，为了能够定量地描述一个物体的运动，必需在选定的参述一个物体的运动，必需在选定的参考系上建立一个合适的坐标系考系上建立一个合适的坐标系 。常见。常见的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。参考系参考系rzyxo第第 3 页页二、质点二、质点 质点系质点系 质点（质点（Particle）: :将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。质点系（质点系（Particle System）：很多质点按一定规律组成的一个质点）：很多质点按一定规律组成的一个质点系统。通过描述质点系中所有质点的系统。通过描述质点系中所有质点的运动情况，从而了解整个质点系的运运动情况，从而了解整个质点系的运动（求和，积分）。动（求和，积分）。地球的运动：地球的运动：公转：质点模型公转：质点模型自转：质点系模型自转：质点系模型第第 4 页页三、位置矢量（三、位置矢量（Position Vector）位矢用坐标值表示为：位矢用坐标值表示为：k zj yi xr222zyxrcos, cos, cosxyzrrr从坐标原点从坐标原点o出发，指向质点所在位置出发，指向质点所在位置 P 的一有向线段。的一有向线段。 P(x,y,z)rzyxo第第 5 页页运动方程（运动方程（Motion Equation）：）：( )( )( )( )r tx t iy t jz t k矢量形式：矢量形式：参数形式：参数形式：( )( )( )xx tyy tzz t轨道方程（轨道方程（ Track Equation ）：）：( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z消去时间消去时间参数（参数（t）第第 6 页页tx225ty245xy00trjti tr252 SI jirt521 m 第第 7 页页第三节第三节 质点的位移、速度、加速度质点的位移、速度、加速度一、位移（一、位移（Displacement）zyxo设质点作曲线运动设质点作曲线运动t 时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢t t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢( )r t()r tt在在 t时间内，时间内，位矢的变化量位矢的变化量（即（即A到到B的有向线段）称为的有向线段）称为位移位移；而；而A到到B路径的长度路径的长度 s称为称为路程路程。()( )rr ttr t r(t)r(tt)rAB s显然：显然：rs 第第 8 页页在直角坐标系中在直角坐标系中kzj yi xr222zyxrkzzjyyixxABABABABrrr第第 9 页页二、速度（二、速度（Velocity）平均速度：刻画速度平均速度：刻画速度 t 时间内平均变化率时间内平均变化率在在 t 时间内发生位移时间内发生位移r则平均速度：则平均速度：rvt瞬时速度：刻画瞬时速度：刻画t 时刻速度的即时变化率时刻速度的即时变化率0ddlimtrrvtt 显然，显然，v 和和 r(t) 曲线的斜率有一一对应关系！曲线的斜率有一一对应关系！oABr(t)r(tt)rBBddtr第第 10 页页速度在直角坐标系中的解析表示：速度在直角坐标系中的解析表示：d ( )d ( )d ( )dddx ty tz tvijkttt( )( )( )( )r tx t iy t jz t kd ( )dd ( )dd ( )dxyzx tvty tvtz tvt222222d ( )d ( )d ( )dddxyzx ty tz tvvvvttt第第 11 页页jti tr252 SI jtidtrdv 102 m/s 1021jivt第第 12 页页 srBA在在 t 时间内，质点所经过时间内，质点所经过路程路程 s对时间的对时间的变化率变化率svt平均速率：平均速率：瞬时速率：瞬时速率：0ddlimtssvtt 一般情况：一般情况： rsvv ，当当 t0时：时：d , d , dd , rrssrsvv o第第 13 页页三、加速度（三、加速度（Acceleration）t1时刻，质点位于时刻，质点位于A处，速度为处，速度为v(t)t2时刻，质点位于时刻，质点位于A处，速度为处，速度为v(t+ t) t时间内，速度增量为：时间内，速度增量为：平均加速度：平均加速度：当当 t0时，平均加速度的极限即为时，平均加速度的极限即为瞬时加速度瞬时加速度：ov(t)v(t+t)r(t)r(tt)ABvv(tt)v(t) ()( )ttttt vvva220()( )ddlimddttttttt vvvravv(t)v(t+t)第第 14 页页加速度在直角坐标系中的解析表示：加速度在直角坐标系中的解析表示：222222d( )dd( )d( )d( )d( )d( )dddddddyxzvtv tv tx ty tz tijkijktttttttva222222d( )d( )ddd( )d( )ddd( )d( )ddxxyyzzv tx tattvty tattv tz tatt222222d( )d( )d( )dddyxzxyzvtv tv taaaattt第第 15 页页jti tr252 SI jtidtrdv 102 m/s 10 jdtvda第第 16 页页第四节第四节 质点的曲线运动质点的曲线运动一、平面自然坐标系（一、平面自然坐标系（Natural System of Coordinates） so nQ平面自然坐标系平面自然坐标系“自然地自然地”选取坐标曲线上的切向和法向为基矢。选取坐标曲线上的切向和法向为基矢。切向基矢切向基矢 ，它的方向是质点所在处的轨道曲线的切向并沿质点前，它的方向是质点所在处的轨道曲线的切向并沿质点前进的方向。另一个法向基矢进的方向。另一个法向基矢 ，沿轨道曲线在该点处的法向并指向，沿轨道曲线在该点处的法向并指向曲线凹的一侧曲线凹的一侧 。 n“自然坐标系自然坐标系”就是直接选取沿着就是直接选取沿着轨道曲线的坐标系。选定该曲线上轨道曲线的坐标系。选定该曲线上一个定点为坐标原点一个定点为坐标原点o，以曲线上某，以曲线上某点到原点点到原点o之间的曲线长度也即弧长之间的曲线长度也即弧长s为坐标参量，并规定自原点向质点为坐标参量，并规定自原点向质点运动方向的一侧运动方向的一侧s为正，另一侧为正，另一侧s为负。为负。 P s n第第 17 页页二、速度和加速度在自然坐标系中的解析表示二、速度和加速度在自然坐标系中的解析表示 s ABBABCrddsrdd,ddsttrv22ddddddddddddnssvvaa nttttttva无限小位移无限小位移dr沿曲线切向基矢沿曲线切向基矢 的方向的方向 ，故：，故：1, sr,sr 00d1limlimdttsvtttrr 在轨道上取非常接近的两点在轨道上取非常接近的两点A、B，这两点间弧长，这两点间弧长 s足够小，以致足够小，以致可以看作是一段圆弧（实际为可以看作是一段圆弧（实际为A处的曲率圆的一部分）。那么处的曲率圆的一部分）。那么A、B两点的法线的交点两点的法线的交点C就是这段圆弧的圆心。我们称就是这段圆弧的圆心。我们称C为为A点处曲线的点处曲线的曲率中心。曲率中心。C、A间的距离为间的距离为r r，称为曲线在，称为曲线在A点处的曲率半径。点处的曲率半径。 的方向指向曲率中心。的方向指向曲率中心。ddt第第 18 页页2ddnvvntraaa因此在自然坐标系中，加速度可以表示为：因此在自然坐标系中，加速度可以表示为：2ddnvatvarr r 的倒数通常称为曲线的曲率。如果平面曲线用方程的倒数通常称为曲线的曲率。如果平面曲线用方程 yy(x) 来表来表示，由高等数学的知识可知，曲线上某点的曲率可以表示为：示，由高等数学的知识可知，曲线上某点的曲率可以表示为：2 3/2( )11( ) y xy xr第第 19 页页速度：速度：dtdsdtrdv速率：速率：dtdsv 2ndvvaaandtr加速度：加速度：dvadt切向加速度切向加速度 切向加速度反映速度大小的变化切向加速度反映速度大小的变化 其方向沿轨道切线方向其方向沿轨道切线方向法向加速度法向加速度nvanr2 法向加速度反映速度方向的变化法向加速度反映速度方向的变化 其方向沿法线方向，指向曲率中心其方向沿法线方向，指向曲率中心总加速度的大小：总加速度的大小：22naaa总加速度的方向：总加速度的方向：arctannaaana第第 20 页页圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为r。dtdva rvan20arvaan2第第 21 页页设：质点作半径为设：质点作半径为 r 的圆周运动的圆周运动 质点所在的位矢质点所在的位矢与与 x 轴的夹角轴的夹角 角位移角位移：角位置角位置 ：质点从质点从A到到B位位矢转过的角度矢转过的角度规定：规定： 逆时针转向逆时针转向为正为正顺时针转向顺时针转向为负为负角速度角速度 ：)srad(10limdtdtt角加速度：角加速度：)srad(20limdtdttRB sxoA 第第 22 页页02022000221tttra rs dsdvrdtdt22rrvandvdardtdtrv 2ran第第 23 页页1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度度以及加速度 22dtrddtvdadtrdvtrr2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程以及初始条件求质点的运动方程ttvvdtavddtavd00,ttrrdtvrddtvrd00,第第 24 页页第五节第五节 运动学的两类问题运动学的两类问题一、运动学的第一类问题一、运动学的第一类问题第一类问题是已知质点运动方程第一类问题是已知质点运动方程rr(t)，求任意时刻质点的位矢、，求任意时刻质点的位矢、速度和加速度，这主要是进行微分运算。速度和加速度，这主要是进行微分运算。例例1 一质点在一质点在xy平面上运动，运动方程为：平面上运动，运动方程为：x t 5，y t2 3t 4。式中，。式中，t的单位为秒（的单位为秒（s），坐标），坐标x、y的单位为米（的单位为米（m），求：），求： （1）质点运动的轨迹力程；）质点运动的轨迹力程； （2）t 2s时质点的位置矢量；时质点的位置矢量； （3）质点从）质点从t=1s到到t=2s间的位移；间的位移； （4）质点的速度和加速度。）质点的速度和加速度。 第第 25 页页（1）将参数形式的运动方程）将参数形式的运动方程 2534xtytt 第一式第一式 tx5 带入第二式，消去时间即得轨迹方程：带入第二式，消去时间即得轨迹方程： 276yxx（2） （3） （4） 2222( )|(5)|(34)|76 (m)tttttittjijr(2)(1)(76 )66 (m)ttijiij rrrd(23)ditjtrv2d2 (m s )djtva2( )(5)(34) (m)ttittjr第第 26 页页例例2 如图所示，湖中一小船，岸边有人用绳子跨过离水面高如图所示，湖中一小船，岸边有人用绳子跨过离水面高h处的处的滑轮拉船，人以恒定速率滑轮拉船，人以恒定速率v0收绳，试求船离岸的距离为收绳，试求船离岸的距离为 时，时，船的速度和加速度。船的速度和加速度。在运动学第一类问题中，有时没有显含时间的运动方程，这时需要在运动学第一类问题中，有时没有显含时间的运动方程，这时需要通过一些几何关系构造等式，再通过对等式两边同时求导得到质点通过一些几何关系构造等式，再通过对等式两边同时求导得到质点运动的速度或加速度。运动的速度或加速度。3hv0hl第第 27 页页v0hloxx解：建立如图所示坐标系，解：建立如图所示坐标系，设小船位置为设小船位置为x，船到滑轮，船到滑轮的距离为的距离为l，由于小船可看作，由于小船可看作质点在水面上运动，所以其质点在水面上运动，所以其速度和加速度均在速度和加速度均在x方向。方向。由勾股定理得由勾股定理得 ：222xhl220ddddxllxhvvtx tx 2203ddvhavtx 2003321|, |33 3xhxhvvavh 第第 28 页页二、运动学的第二类问题二、运动学的第二类问题第二类问题是已知加速度第二类问题是已知加速度a a(t)及运动的初始条件及运动的初始条件(即即t 0时的位矢时的位矢r0及初速度及初速度v0)，求任意时刻质点的速度和位矢。这是第一类问题的，求任意时刻质点的速度和位矢。这是第一类问题的逆运算，需要用积分求解。逆运算，需要用积分求解。 例例3 一质点在一质点在xy平面上运动，其加速度为平面上运动，其加速度为a 5t2i 3j。已知。已知 t 0 时，时，质点静止于坐标原点。求在任一时刻该质点的速度、位置矢量质点静止于坐标原点。求在任一时刻该质点的速度、位置矢量（运动方程）和轨迹方程。（运动方程）和轨迹方程。 解：解： 253t ija000, 0, 0t vr2300005d(5 d )(3d )33tttttt it jt itjvva3420000553d(d )(3d )3122tttttt it t jt it jrrv第第 29 页页将位置矢量方程（运动方程）的参数方程式消去参数将位置矢量方程（运动方程）的参数方程式消去参数 t ，得轨迹方，得轨迹方程为：程为：2527xy4251232xtyt消去参数消去参数 t 得：得：显然，运动的轨迹为抛物线。显然，运动的轨迹为抛物线。