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热点探究课(六)高考中的圆锥曲线问题命题解读圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命题有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高热点1圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a，b，c三者之间的关系另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点如图1，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.图1(1)若PF12，PF22，求椭圆的标准方程；(2)若PF1PQ，求椭圆的离心率e. 【导学号：62172279】解(1)由椭圆的定义，2aPF1PF2(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2cF1F22.3分即c，从而b1，故所求椭圆的标准方程为y21.5分(2)连结F1Q，如图，由椭圆的定义知PF1PF22a，QF1QF22a，又PF1PQPF2QF2(2aPF1)(2aQF1)，可得QF14a2PF1. 又因为PF1PQ且PF1PQ，所以QF1PF1.8分由可得PF1(42)a，从而PF22aPF1(22)a.由PF1PF2，知PFPFF1F，即(42)2a2(22)2a24c2，12分可得(96)a2c2，即96，因此e.14分规律方法1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用2圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a，b，c中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制对点训练1已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x24y的焦点(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线yx1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程解(1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上设椭圆的方程为1(ab0)，因为抛物线x24y的焦点为(0,1)，所以b1.2分由离心率e，a2b2c21c2，从而得a，所以椭圆的标准方程为y21.6分(2)由解得所以点A(2,1).8分因为抛物线的准线方程为y1，所以圆的半径r1(1)2，所以圆的方程为(x2)2(y1)24.14分热点2圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题角度1圆锥曲线的定值问题(2016北京高考)已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解(1)由题意得a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.3分又c，所以离心率e.5分(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y(x2).7分令x0，得yM，从而BM1yM1.直线PB的方程为yx1.9分令y0，得xN，从而AN2xN2.所以四边形ABNM的面积SANBM2.从而四边形ABNM的面积为定值.14分规律方法1.求定值问题的常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类问题中选择消元的方法是非常关键的角度2圆锥曲线中的定点问题设椭圆E：1(ab0)的离心率为e，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. 【导学号：62172280】解(1)由e2，可得a22b2，2分椭圆方程为1，代入点可得b22，a24，故椭圆E的方程为1.5分(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得(m22)y22mtyt240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.8分因为以MN为直径的圆过点A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240.10分因为M，N与A均不重合，所以t2，所以t，直线l的方程是xmy，直线l过定点T，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T.14分规律方法1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点2从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意对点训练2已知椭圆E：1，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线l：x4(y0)上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q.(1)若MAB垂心的纵坐标为4，求点P的坐标；(2)试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解(1)由题意知A(2，0)，B(2，0)设MAB的垂心为H，因为AB边上的高所在的直线方程为l：x4，且MAB垂心的纵坐标为4，所以H(4，4)所以直线BH的斜率为kBH，所以直线AM的方程为y()(x2)由或4分所以P点的坐标为.6分(2)设P点的坐标为(x1，y1)，Q点的坐标为(x2，y2)，则y(8x)，y(8x)，直线AP的方程为y(x2)由M.8分由于M，B，Q三点共线，所以kBMkBQ，从而，即，两边平方得，整理得2x1x25(x1x2)160.(*)设直线PQ的方程为ykxm.由(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，代入(*)得m25km8k20，解得mk，或m4k.当mk时，直线PQ的方程为ykxk，即yk(x)，恒过点(，0)；当m4k，直线PQ的方程为ykx4k，即yk(x4)，恒过点(4，0)，此种情况不合题意综上可知，直线PQ恒过点(，0).16分热点3圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.8分(2)由解得或因此AB.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以CD|x4x3|.由已知，四边形ACBD的面积SCDAB，当n0时，S取得最大值，最大值为，所以四边形ACBD面积的最大值为.16分规律方法范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解对点训练3已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且过点(，2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围解由椭圆C：1(ab0)的焦距为4.得曲线C的焦点F1(0，2)，F2(0,2).2分又点(，2)在椭圆C上，2a4，所以a2，b2，即椭圆C的方程是1.5分(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，2)，8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykx2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：(2k2)x24kx40，则x1x2，x1x2，8分所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448.10分因为010，所以8b0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由图2解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.4分所以椭圆E的方程为1.5分(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.8分其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.10分此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.14分热点探究训练(六)A组基础达标(建议用时：30分钟)1(2017扬州模拟)如图3，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，O为坐标原点，M在PF1上，(R)，POF2M.图3(1)若椭圆方程为1，P(2，)，求点M的横坐标；(2)若2，求椭圆离心率e的取值范围. 【导学号：62172281】解(1)1，F1(2,0)，F2(2,0)，kOP，kF2M，kF1M.直线F2M的方程为y(x2)，直线F1M的方程为：y(x2)由解得x，点M的横坐标为.6分(2)设P(x0，y0)，M(xM，yM)，2，(x0c，y0)(xMc，yM)，M，.POF2M，(x0，y0)，x0y0，即xy2cx0.联立方程得，消去y0得：c2x2a2cx0a2(a2c2)0.解得x0或x0.ax0a，x0(0，a)，0a2ac.综上，椭圆离心率e的取值范围为.14分2(2017无锡期末)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(xc)2y2a2c2(c为半焦距)，直线l ：ykxm(k0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.(1)求椭圆方程和直线方程；(2)试在圆N上求一点P，使2.解(1)由题意知解得a2，c1，所以b，所以椭圆M的方程为：1.圆N的方程为(x1)2y25.由直线l：ykxm与椭圆M只有一个公共点，所以由得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0得m234k2.由直线l：ykxm与N只有一个公共点，得，即k22kmm255k2，将代入得km1，由，且k0，得：k，m2.所以直线方程为：yx2.6分(2)将k，m2代入可得A，又过切点B的半径所在的直线l为：y2x2，所以得交点B(0,2)，设P(x，y)，因为2，则8，化简得：7x7y16x020y0220，又P(x，y)满足xy2x04，将7得：3x02y050，即y0.将代入得：13x22x090，解得x01或x0，所以P(1,1)或P.14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017泰州中学高三摸底考试)已知椭圆：y21.(1)椭圆的短轴端点分别为A，B(如图4)，直线AM，BM分别与椭圆交于E，F两点，其中点M满足m0，且m.证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；若BME面积是AMF面积的5倍，求m的值(2)若圆O：x2y24.l1，l2是过点P(0，1)的两条互相垂直的直线，其中l1交圆O于T，R两点，l2交椭圆于另一点Q.求TRQ面积取最大值时直线l1的方程. 【导学号：62172282】图4解(1)因为A(0,1)，B(0，1)，M，且m0，直线AM的斜率为k1，直线BM的斜率为k2，直线AM的方程为yx1，直线BM的方程为yx1，由得(m21)x24mx0，x0，x，E，由得(m29)x212mx0，x0或x，F；据已知m0，m23，直线EF的斜率k，直线EF的方程为y，令x0，得y2，EF与y轴交点的位置与m无关SAMFMAMFsin AMF，SBMEMBMEsin BME，AMFBME，5SAMFSBME，5MAMFMBME，.m0，整理方程得1，即(m23)(m21)0，又有m，m230，m21，m1为所求.8分(2)因为直线l1l2，且都过点P(0，1)，所以设直线l1：ykx1，即kxy10，直线l2：yx1，即xkyk0，所以圆心(0,0)到直线l1：ykx1，即kxy10的距离d，所以直线l1被圆x2y24所截的弦TR2；由得k2x24x28kx0，所以xQxp，所以QP，所以STRQQPTR，当，即k2，解得k时等号成立，此时直线l1：yx1.16分2(2017苏北四市期末)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，左顶点为A(4,0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.图5(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k0)都有OPEQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值解(1)因为左顶点为A(4,0)，所以a4，又e，所以c2，b2a2c212，所以椭圆C的标准方程为1.(2)直线l的方程为yk(x4)，由消元得，1.化简得(x4)(4k23)x16k2120，所以x14，x2.8分当x时，yk，所以D.因为P为AD的中点，所以P的坐标为，kOP(k0)，直线l的方程为yk(x4)，令x0得E点坐标为(0,4k)，假设存在定点Q(m，n)(m0)，使得OPEQ，则kOPkEQ1，即1恒成立，所以(4m12)k3n0恒成立，所以即所以存在定点Q，对于任意的k(k0)都有OPEQ，且定点Q的坐标为(3,0).12分(3)因为OMl，所以OM的方程可设为ykx，由得M点的横坐标为x，由OMl，得2，当且仅当即k时取等号，所以当k时，的最小值为2.16分
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