高三数学北师大版理一轮教师用书：第7章 第4节 归纳与类比 Word版含解析

第四节归纳与类比最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义.3.掌握演绎推理的基本模式，能运用它们进行一些简单的演绎推理1归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式(2)特点：是由部分到整体，由个别到一般的推理利用归纳推理得出的结论不一定是正确的2类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程(2)特点：是两类事物特征之间的推理，是由特殊到特殊的推理利用类比推理得出的结论不一定是正确的3合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()答案(1)(2)(3)二、教材改编1已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1Ca11，a24，a39，a416，猜想ann2.2观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123D199C由题意可知，a6b671118；a7b7111829；a8b8182947；a9b9294776；a10b104776123.3如图(1)有面积关系：，则由图(2)有体积关系：_.(1)(2)平面上的面积可类比到空间上的体积.4在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)利用类比推理，借助等比数列的性质， bb1nb17n，可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(nb0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为_(1)A(2)1(1)由题意结合所给的例子类比推理可得x(x0)，整理得(x1)(x3)0，则x3，x1(舍)，即3，故选A.(2)若点P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.类比推理的关键是找到合适的类比对象，推理的一般步骤为：先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)教师备选例题1我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()AS2SSS BS2CSS1S2S3 DSA如图，作ODBC于点D，连接AD，则ADBC，从而S22BC2AD2BC2(OA2OD2)(OB2OC2)OA2BC2OD2222SSS.2“求方程xx1的解”有如下解题思路：设f(x)xx，则f(x)在R上单调递减，且f(2)1，所以原方程有唯一解x2.类比上述解题思路，不等式x6(x2)(x2)3x2的解集是_(，1)(2，)不等式x6(x2)(x2)3x2变形为x6x2(x2)3(x2)，令ux2，vx2，则x6x2(x2)3(x2)转化为u3uv3v.设f(x)x3x，知f(x)在R上为增函数，由f(u)f(v)，得uv.不等式x6x2(x2)3(x2)可化为x2x2，解得x1或x2.所求解集为(，1)(2，)在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到立体几何中，若正方体ABCDA1B1C1D1的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.正方形ABCD的内切圆的半径为r1，外接圆的半径为r2，半径比，面积比为半径比的平方，正方体ABCDA1B1C1D1的内切球的半径为R1，外接球的半径为R2，半径比，所以体积比是半径比的立方，.考点3生活中的合情推理假设反证法解决逻辑推理问题：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙A若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.对于逻辑推理问题，求解的关键是以肯定某个事物(某句话等)为基准，推出矛盾，进而得出结论(2019东北三省三校一模)甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_乙假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意；假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾故答案是乙