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课时分层训练(九)A组基础达标(建议用时：30分钟)1已知点A(1,0)，点B(2,0)，动点C满足ACAB，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程解由题意可知：动点C的轨迹是以(1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x1)2y29.设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x01,2y04)，代入点C的轨迹方程得4x4(y02)29，化简得x(y02)2，故点M的轨迹方程为x2(y2)2.2动点P与两定点A(a,0)，B(a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线. 【导学号：62172348】解设点P(x，y)，则kAP，kBP.由题意得k，即kx2y2ka2.所以点P的轨迹方程为kx2y2ka2(xa)(*)(1)当k0时，(*)式即y0，点P的轨迹是直线AB(除去A，B两点)(2)当k0时，(*)式即1，若k0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A，B两点)若k0，(*)式可化为1.当1k0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A，B两点)；当k1时，(*)式即x2y2a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A，B两点)；当k1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A，B两点)3如图653所示，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程图653解由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)，由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，y0)设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)，直线A2B的方程为y(x3)，由得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)，联立，解得x0，且|x|.点P(x1，y1)在双曲线y21上，y1.将代入上式，整理得所求轨迹的方程为y21(x0，且x)3已知圆C的方程为x2y24.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若AB2，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线解(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，)，距离为2，满足题意若直线l不垂直于x轴，设其方程为y2k(x1)，即kxyk20.设圆心到此直线的距离为d，则22，得d1，所以1，解得k，故所求直线方程为3x4y50.综上所述，所求直线l的方程为3x4y50或x1.(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y00)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0)因为，所以(x，y)(x0,2y0)，即x0x，y0.又因为M是圆C上一点，所以xy4，所以x24(y0)，所以Q点的轨迹方程是1(y0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点4已知点A(1,0)，F(1,0)，动点P满足2|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)在直线l：y2x2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N.问：是否存在点Q，使得直线MNl？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设P(x，y)，则(x1，y)，(x1，y)，(2,0)由2|，得2(x1)2，化简得y24x.故动点P的轨迹C的方程为y24x.(2)直线l的方程为y2(x1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)过点M的切线方程设为xx1m(yy1)，代入y24x，得y24my4my1y0.由16m216my14y0，得m，所以过点M的切线方程为y1y2(xx1)同理过点N的切线方程为y2y2(xx2)因为Q(x0，y0)在切线上，所以所以点M(x1，y1)，N(x2，y2)在直线yy02(x0x)上，所以直线MN的方程为y0y2(x0x)又MNl，所以2，即y01，而y02(x01)，所以x0，故点Q的坐标为.
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