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课时分层训练(二)A组基础达标(建议用时：30分钟)1(2016江苏高考)(1)求7C4C的值；(2)设m，nN，nm，求证：(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C.解(1)7C4C740.(2)证明：当nm时，结论显然成立当nm时，(k1)C(m1)(m1)C，km1，m2，n.又因为CCC，所以(k1)C(m1)(CC)，km1，m2，n.因此，(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)(CC)(CC)(m1)C.2某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有多少种？ 【导学号：62172320】解赠送1本画册，3本集邮册需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有C种方法赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有C种方法由分类加法计数原理，不同的赠送方法有CC10种3将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有多少种？解1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有CCA种，由分类计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为CCACCA36种4男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员解(1)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246(种)法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法为CC246(种)(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法不选女队长时，必选男队长，共有C种选法其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有CC种选法，所以既有队长又有女运动员的选法共有CCC191(种)57名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端. 【导学号：62172321】解(1)两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有AA1 440种站法(2)4名男生互不相邻，应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有AA144种站法(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A720种站法当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有A553 000种站法根据分类计数原理知共有7203 0003 720种站法6用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？解个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有CACAC90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有CACCCAC234(个)，所以共有90234324(个)B组能力提升(建议用时：15分钟)1设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入五个盒子内(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解(1)CA1 200种；(2)A1119种(3)满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种；第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法，2C20种故满足条件的放法数为：1102031种2(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A24种(2)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数，分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C242种；若分配到3所学校有C35种共有7423584种方法法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C84种不同方法所以名额分配的方法共有84种3(2017南京模拟)已知整数n3，集合M1,2,3，n的所有含有3个元素的子集记为A1，A2，A3，AC，设A1，A2，A3，AC中所有元素之和为Sn.(1)求S3，S4，S5，并求出Sn；(2)证明：S3S4Sn6C.解(1)当n3时，集合M只有1个符合条件的子集，S31236，当n4时，集合M每个元素出现了C次S4C(1234)30.当n5时，集合M每个元素出现了C次，S5C(12345)90.所以 ，当集合M有n个元素时，每个元素出现了C，故SnC.(2)证明：因为SnC6C.则S3S4S5Sn6(CCCC)6(CCCC)6C.4(2017苏州期末)如图581，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x1，x2，xk，其中xi0,1(1ik)，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x0.图581(1)当k4时，若要求x0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？(2)当k11时，若要求x0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？ 解(1)当k4时，第4层标注数字依次为x1，x2，x3，x4，第3层标注数字依次为x1x2，x2x3，x3x4，第2层标注数字依次为x12x2x3，x22x3x4，所以x0x13x23x3x4.因为x0为2的倍数，所以x1x2x3x4是2的倍数，则x1，x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1C18种标注方法. (2)当k11时，第11层标注数字依次为x1，x2，x11，第10层标注数字依次为x1x2 ，x2x3，x10x11，第9层标注数字依次为x12x2x3，x22x3x4，x92x10x11，以此类推，可得x0x1Cx2Cx3Cx10x11.因为CC45，CC120，CC210，C252均为3的倍数，所以只要x1Cx2Cx10x11是3的倍数，即只要x1x2x10x11是3的倍数，所以x1，x2，x10，x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个x3，x4，x9可以取0或1，这样共有(1C)27640种标注方法
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