三年高考（2014-2016）数学（理）真题分项版解析—— 专题03 导数

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第三章 导数一、 选择题1. 【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2. 【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是( )（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A【解析】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用3.【2014新课标，理12】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D.【答案】C【考点定位】利用导数研究函数的极值【名师点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，函数极值点的含义，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档偏难题.4. 【2014新课标，理8】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】因为，所以切线的斜率为，解得，故选D。【考点定位】导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数公式及求导法则；本题属于基础题，解决本题的关健在于正确求出已知函数的导数.5. (2014山东，理6)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A B C2 D4答案：D解析：由解得x2或x0或x2，所以直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形面积应为.【名师点睛】本题考查定积分的应用，解答此类题的关键是明确围成封闭图形的曲线，即明确被积函数，应用定积分计算面积.本题是一道基础题，考查定积分的应用等基础知识，同时考查考生的计算能力及应用数学知识，解决问题的能力.6. 【2014陕西理3】定积分的值为（ ） 【答案】【解析】试题分析：，故选.考点：定积分.【名师点晴】本题主要考查的是定积分，属于容易题.解题时只要正确应运求定积分的运算步骤，准确写出原函数的解析式，一般就不容易出现错误.7. 【2014陕西理10】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ） （A） （B）（C） （D）【答案】考点：函数的解析式.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，函数的解析式等知识，属于难题.解题时要认真理解题意，“已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分”，确定函数为三次函数，然后由已知函数图像，将图像语言转化为数学语言，从而确定出参数8. 【2015福建理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，选项A,B无法判断，故选C【考点定位】函数与导数【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题9. 【2015新课标1理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）【答案】D【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路.10. 【2015课标2理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题11. 【2015陕西理12】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理二、填空题1. 【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】试题分析：当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为2. 【2014广东理10】曲线在点处的切线方程为 .【答案】或.【解析】，所求切线的斜率为，故所求切线的方程为，即或.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“在点处”，否则很容易出现错误解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率3. 【2014江苏理11】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .【答案】【解析】曲线过点，则，又，所以，由解得所以【考点定位】导数与切线斜率【名师点晴】导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义等问题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；3)求参数的值.4. 【2015湖南理11】 .【答案】.【解析】试题分析：.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.5. 【2015陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积是6. 【2015天津理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.三、解答题1【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案】试题解析;（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为（）不妨设,由（）知,在上单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时,而,故当时,从而,故考点：导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.2. 【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数.设.（1）求方程的根;（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。【答案】（1）0 4（2）1【解析】试题解析：（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.4. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设函数,，其中(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到5(本小题满分14分)设函数f(x)(x1)exkx2(kR).(1)当k1时,求函数f(x)的单调区间；(2)当k时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.【答案】(1)详见解析 (2)详见解析【解析】(1)当k1时,f(x)(x1)exx2,f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2),令f(x)0,得x10,x2ln 2,当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表：x(,0)0(0,ln 2)ln 2(ln 2,)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(,0),(ln 2,).(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k),令f(x)0,得x10,x2ln(2k),令g(k)ln(2k)k,k,则g(k)10,所以g(k)在上单调递增.所以g(k)ln 21ln 2ln e0.从而ln(2k)k,所以ln(2k)(0,k).所以当x(0,ln(2k)时,f(x)0；当x(ln(2k),)时,f(x)0；所以Mmaxf(0),f(k)max1,(k1)ekk3.令h(k)(k1)ekk31,则h(k)k(ek3k),令(k)ek3k,则(k)ek3e30.所以(k)在上单调递减,而(1)(e3)0,所以存在x0使得(x0)0,且当k时,(k)0,当k(x0,1)时,(k)0,所以(k)在上单调递增,在(x0,1)上单调递减.因为,h(1)0,所以h(k)0在上恒成立,当且仅当k1时取得“”.综上,函数f(x)在0,k上的最大值M(k1)ekk3.【考点定位】本题考查导数的应用,属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误利用导数求函数的单调区间的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间求函数在上的最大值与最小值的步骤：求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值6. 【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为（）求；（）求；（）证明【答案】（）；（）；（）见解析【解析】试题分析：（）直接可求；（）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（）首先由（）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（）（）当时，因此， 4分当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解7. 【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q= （I）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）【解析】试题分析：（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值试题解析：（I）由于，故当时，当时，所以，使得等式成立的的取值范围为（II）（i）设函数，则，所以，由的定义知，即（ii）当时，当时，所以，考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式【思路点睛】（I）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（ii）根据的取值范围求出的最大值，进而可得8. 【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点： 函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念9【2016年高考北京理数】（本小题13分）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】（），；（2）的单调递增区间为.【解析】试题分析：（1）根据题意求出，根据，求，的值；（2）由题意知判断，即判断的单调性，知，即，由此求得的单调区间.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，故的单调递增区间为.考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点10. 【2016年高考四川理数】（本小题满分14分）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【答案】（）当时，0，单调递增；（）.【解析】试题解析：（I） 0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，0，单调递增.（II）令=，=.则=.而当时，0，所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（I）有,从而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令，当时，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时， ，即 恒成立.综上，考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度11. 【2014安徽理18】（本小题满分12分）设函数,其中（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值【解析】试题分析：（1）对原函数进行求导，令，解得，当或时；从而得出，当时，故在和内单调递减，在内单调递增（2）依据第（1）题，对进行讨论，当时，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值试题解析：（1）的定义域为，令，得，所以当或时；当时，故在和内单调递减，在内单调递增（2） 因为，所以当时，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值考点：1含参函数的单调性；2含参函数的最值求解【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出，随变化的情况表，写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间.12. 【2014北京理18】(本小题13分)已知函数f(x)xcos xsin x，.(1)求证：f(x)0；(2)若对恒成立，求a的最大值与b的最小值分析：(1)先求出导函数f(x)，利用导函数在上的符号判断f(x)在上的单调性，并求出其最大值，即可证得结论；(2)根据x0，将不等式转化为整式不等式，进而转化为与0的大小关系，注意对参数c的取值要分c0，c1和0c1三种情况进行分类讨论，然后利用边界值求出a的最大值与b的最小值解析：(1)证明：由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间上f(x)xsin x0，所以f(x)在区间上单调递减从而f(x)f(0)0.(2)解：当x0时，“”等价于“sin xax0”；“”等价于“sin xbx0”令g(x)sin xcx，则g(x)cos xc.当c0时，g(x)0对任意恒成立当c1时，因为对任意，g(x)cos xc0，所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意恒成立当0c1时，存在唯一的使得g(x0)cos x0c0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下：x(0，x0)x0avs4alco1(x0，f(2)g(x)0g(x)因为g(x)在区间0，x0上是增函数，所以g(x0)g(0)0.进一步，“g(x)0对任意恒成立”当且仅当，即.综上所述，当且仅当时，g(x)0对任意恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意恒成立所以，若对任意恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.考点定位：本题考点为导数的应用，利用导数工具研究函数，主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，本题还涉及构造函数，利用构造的函数解决问题.【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中偏难问题，学生解答有一定的困难，分两步，第一步为利用导数研究函数单调性，进而求最值，利用最值证明不等式，这是一步常规题，容易入手容易得分，但第二步构造函数解题较难，近几年高考在导数命题上难度较大，命题方向也较多，常常要构造函数，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.13. 【2014福建,理20】（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.【答案】（I）,极值参考解析;（II）参考解析;（III）参考解析【解析】试题解析：解法一:（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.（III）若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法三: （I）同解法一.（II）同解法一.（III）首先证明当时,恒有.证明如下:令则.由（II）知,当时, .从而在单调递减,所以即.取,当时,有.因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.注:对c的分类不同有不同的方式，只要解法正确，均相应给分.考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题把导数的几何意义、极值、不等式证明结合在一起考查，综合性强，难度大，后两问涉及到不等式证明，利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.14. 【2014广东理21】(本小题满分14分)设函数，其中.(1)求函数的定义域(用区间表示)；(2)讨论函数在上的单调性；(3)若，求上满足条件的的集合(用区间表示).【答案】(1)；(2) 函数在，上单调递增，在，上单调递减；(3).【解析】(1)可知，或，或，或，或或，所以函数的定义域为；(2)，由得，即，或，结合定义域知或，所以函数在，上单调递增，在，上单调递减；(3)由得，或或或，结合函数的单调性知的解集为.【考点定位】本题以复合函数为载体，考查函数的定义域.单调区间以及不等式的求解，从中渗透了二次不等式的求解，在求定义域时考查了分类讨论思想，以及利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的定义域、函数的单调区间和解不等式，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“单调性”和“用区间表示”，否则很容易出现错误利用导数求函数的单调区间的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间15. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】（本题满分14分）为圆周率，为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）求，这6个数中的最大数与最小数； （3）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数、的性质，确定，这6个数中的最大数与最小数；（3）由（1），（2）的结论只需比较与和与的大小，时，即，在上式中，令，又，则，即得，整理得，估算的值，比较与3的大小，从而确定与的大小关系，再根据，确定与的大小关系，最后确定6个数从小到大的顺序.（2）因为，所以，即，于是根据函数、在定义域上单调递增，所以，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，由及（1）的结论得，即，由得，所以，由得，所以，综上，6个数中的最大数为，最小数为.（3）由（2）知，又由（2）知，故只需比较与和与的大小，由（1）知，当时，即，在上式中，令，又，则，即得由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以，综上所述，即6个数从小到大的顺序为，.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.【名师点睛】作为一道压轴大题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令导数大于0、小于0即可求出相应的单调区间；第二问运用函数、在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，确定出其最大的数和最小的数即可；第三问合理地运用第一问的结论，运用赋值法建立不等关系，进而判断其大小关系即可.16. 【2014湖南理22】已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.【答案】(1)详见解析 (2)【解析】试题分析:(1)首先对函数求导并化简得到导函数,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分和得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数的可行域内,把关于的表达式带入,得到关于的不等式,然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题.试题解析:(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时, ,则函数在区间单调递减,在单调递增的. (2)函数的定义域为,由(1)可得当时,则 ,即,则为函数的两个极值点,代入可得=令,令,由知: 当时, 当时,当时,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即不符合题意.当时, ,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即恒成立,综上的取值范围为.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数 f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值4重难点剖析：(1)f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件(2)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y|x00，但x0不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 (3)可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较17. 【2014江苏理19】（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，当时，当时，【解析】（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，于是在上有解，等价于，即考察函数，当时，当时，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，所以当时，即，当时，即，因此当时，当时，当时，【考点定位】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小【名师点晴】解决含参数问题及不等式问题中的两个转化1利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用2将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理18. 【2014辽宁理21】（本小题满分12分）已知函数，.证明：（）存在唯一，使；()存在唯一，使，且对（1）中的.【答案】（）详见解析；() 详见解析.【解析】试题分析：（）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（）考虑函数，令，则时，记，则 ，有（）得，当时，当时，.在上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点.在上是减函数，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以，即命题得证.试题解析：（）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（）考虑函数，令，则时，记，则 ，因，所以考点：1.零点唯一性的判断；2.函数的单调性的应用.【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式的证明等.解答本题的主要困难是构造函数，并进一步应用导数研究函数的单调性等.本题是一道能力题，属于难题.在考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式的证明等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想想.19. 【2014全国1理21】（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为（I）求（II）证明：【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】试题解析：（I）函数的定义域为由题意可得，故（II）由（I）知，从而等价于，设函数，则所以当时，；当时，故在递减，在递增，从而在的最小值为设，则所以当时，；当时，故在递增，在递减，从而在的最大值为综上，当时，即【考点定位】1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的最值【名师点睛】本题主要靠导数的几何意义、不等式的证明，考查分类讨论思想，意在考查考生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.导函数解答题中贯穿始终的数学思想方法，在含有参数的试题中分类与整合思想是必要的，解题时常把不等式问题转化为函数的最值问题，把方程的根转化为函数的零点等.20. 【2014全国卷2理21】（本小题满分12分）已知函数=.（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）（2）当时，若满足，即时，而，因此当时，综上，的最大值为2.（）由（）知，当时，；当时，所以的近似值为.【考点定位】1. 利用导数研究函数的单调性；2. 利用导数证明不等式【名师点睛】本题考查利用导数求函数的的单调性、切线、函数的值域，等价转化，综合性强，属于难题，第二问，需利用对数函数的单调性将不等式进行等价转化后，再利用导数研究函数的单调性、最值即可第三问，要求适当的放缩与估值，要求学生有较强的推理能力和计算能力21. 【2014陕西理21】（本小题满分14分）设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析.【解析】试题分析：（1）易得，且有，当且仅当时取等号，当时，当时，由，得，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，继而得，经检验，所以；（2） 在范围内恒成立，等价于成立，令 ，即成立，令，得，分和两种情况讨论，分别求出的最小值，继而求出的取值范围；（3）由题设知：，比较结果为：，证明如下：上述不等式等价于在（2）中取，可得，令，则，即，使用累加法即可证明结论.试题解析：，（1），即，当且仅当时取等号当时，当时，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列当时，（2）在范围内恒成立，等价于成立令，即恒成立，令，即，得当即时，在上单调递增所以当时，在上恒成立；当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以设因为，所以，即，所以函数在上单调递减所以，即所以不恒成立综上所述，实数的取值范围为（3）由题设知：，比较结果为：证明如下：上述不等式等价于在（2）中取，可得令，则，即故有上述各式相加可得：结论得证.考点：等差数列的判断及通项公式；函数中的恒成立问题；不等式的证明.【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的判断及通项公式；函数中的恒成立问题；不等式的证明和利用导数研究函数的单调性，属于难题解题时一定要抓住重要条件“”，逐步推到才能得到的表达式，对于第（2）问可构造新函数，即恒成立，讨论其单调性即可得到所要求的结果；第（3）问实际上是一个累加的过程22. 【2014高考重庆理第20题】（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问3分，（）小问5分）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（）确定的值； （）若，判断的单调性；（）若有极值，求的取值范围.【答案】（）；（）增函数；（）.【解析】试题解析：解：（）对求导得，由为偶函数，知，即，因，所以又，故.（）当时，那么故在上为增函数.（）由（）知，而，当时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当时，对任意，此时无极值；当时，对任意，此时无极值；当时，令，注意到方程有两根，即有两个根或.当时，；又当时，从而在处取得极小值.综上，若有极值，则的取值范围为.考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的的单调性、切线、函数的值域，等价转化，综合性强，属于较难题，第二问，需用基本不等式判断导数的符号，再利用导数研究函数的单调性即可第三问，要注意分类计论，要求学生有较强的推理能力和计算能力23 【2015安徽理21】（本小题满分13分） 设函数. （）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （）记，求函数在上的最大值D； （）在（）中，取，求满足时的最大值.【答案】（）极小值为；（）； （）1.【解析】试题分析：（）将代入为，. 求导得，.因为，所以.按的范围分三种情况进行讨论：当时，函数单调递增，无极值.当时，函数单调递减，无极值.当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，时，函数在处有极小值.（）当时，依据绝对值不等式可知，从而能够得出函数在上的最大值为.（）当，即，此时，从而.依据式子特征取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1. （）时， 当时，取，等号成立， 当时，取，等号成立， 由此可知，函数在上的最大值为. （），即，此时，从而. 取，则，并且. 由此可知，满足条件的最大值为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.24. 【2015北京理18】（本小题13分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值【答案】（），（）证明见解析，（）的最大值为2.【解析】试题解析：（），曲线在点处的切线方程为；（）当时，即不等式，对成立，设，则，当时，故在（0，1）上为增函数，则，因此对，成立；（）使成立，等价于，；，当时，函数在（0，1）上位增函数，符合题意；当时，令，-0+极小值，显然不成立，综上所述可知：的