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第36课 数列求和最新考纲内容要求ABC数列求和数列求和的常用方法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)裂项时常用的三种变形：；.4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于_。an，S5a1a2a51.3若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_.2n12n2Sn2n12n2.4(2017南京模拟)数列an的通项公式是an(1)n(2n1)，则该数列的前100项之和为_100由题意可知，S1001357197199(13)(57)(197199)222250100.5321422523(n2)2n_.4设S345(n2)，则S345(n2).两式相减得S3.S334.分组转化求和(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，)设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.规律方法分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论变式训练1(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解(1)由题意得则又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN.(2)设bn|3n1n2|，nN，则b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，所以Tn裂项相消法求和若An和Bn分别表示数列an和bn的前n项的和，对任意正整数n，an2(n1)，3AnBn4n.(1)求数列bn的通项公式；(2)记cn，求cn的前n项和Sn. 【导学号：62172195】解(1)由于an2(n1)，an为等差数列，且a14.Ann23n，Bn3An4n3(n23n)4n3n25n，当n1时，b1B18，当n2时，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18适合上式，bn6n2.(2)由(1)知cn，Sn.规律方法1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项变式训练2Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.错位相减法求和(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.规律方法1.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，若bn的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和变式训练3已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S515.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn. 【导学号：62172196】解(1)设等差数列an的公差为d，首项为a1.S36，S515，即解得an的通项公式为an a1(n1)d1(n1)1n.(2)由(1)得bn，Tn，式两边同乘， 得Tn，得Tn1，Tn2.思想与方法解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和易错与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.课时分层训练(三十六)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于_n21该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.2在数列an中，an1an2，Sn为an的前n项和若S1050，则数列anan1的前10项和为_120anan1的前10项和为a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S10102120.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了_里96由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则378，解得a1192，则a296，即第二天走了96里4已知数列5,6,1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于_. 【导学号：62172197】7根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，5，6，1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为561(5)(6)(1)0.又因为16264，所以这个数列的前16项之和S162077.5已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN，记数列an的前n项和为Sn，则S2 017_.1由f(4)2得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 017a1a2a3a2 017()()()()1.6设数列an 的前n项和为Sn，且ansin，nN，则S2 016_.0ansin，nN，显然每连续四项的和为0.S2 016S45040.7对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列an的前n项和Sn_. 【导学号：62172198】2n 12an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.8设数列an的前n项和为Sn，若a212，Snkn21(nN)，则数列的前n项和为_令n1得a1S1k1，令n2得S24k1a1a2k112，解得k4，所以Sn4n21，则数列的前n项和为.9(2017南通三模)设数列an满足a11，(1an1)(1an)1(nN)，则(akak1)的值为_(1an1)(1an)1，anan1anan1，1.又a11，1，是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)1n.an.akak1，(akak1)a1a2a2a3a100a10111.10(2017苏州模拟)已知an是等差数列，a515，a1010，记数列an的第n项到第n5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为_5或6由a515，a1010，得d5，则ana5(n5)(5)405n，an5405(n5)155n，Tn16530n.当|Tn|0时，n，又nN故当n5或6时，|Tn|取得最小值二、解答题11已知数列an满足a11，(n1)an(n1)an1(n2，nN)(1)求数列an的通项公式an；(2)设数列an 的前n项和为Sn，证明：Sn2. 【导学号：62172199】解(1)当n2时，由(n1)an(n1)an1，得，.将上述式子相乘得.又a11，an.(2)证明：an2，Sn222，Sn0，故bn3n1.(2)Sn，所以cn2，Tn22.(3)dn，dn1dn.当n1,2时，dndn1，又因为d1，d2，d3，d4，所以m的取值范围为.
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