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各地解析分类汇编:导数21【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）已知函数. （1）求的极值；（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的定义域为,，2分令得，当时，是增函数；当时，是减函数，在处取得极大值，无极小值. 5分（2）当时，即时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，,又当时， 当时，；当时，；与图象的图象在上有公共点，解得，又，所以. 9分 当时，即时，在上是增函数，在上的最大值为，所以原问题等价于，解得.又,无解. 综上，实数a的取值范围是. 13分2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分14分）已知函数的导数为实数，.（）若在区间-1，1上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；（）在（）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（）设函数，试判断函数的极值点个数。【答案】解：（）由已知得，1分由得.，当时，递增；当时，递减.在区间-1，1上的最大值为.3分又.由题意得，即，得为所求。 5分（）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。（1） 当切点为P（2，1）时，切线的斜率，的方程为.6分（2） 当切点P不是切点时，设切点为切线的余率，的方程为。又点P（2，1）在上，.切线的方程为.故所求切线的方程为或.8分（）解：. 10分二次函数的判别式为得：.令，得，或。，时，函数为单调递增，极值点个数0； 12分当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点. 14分3.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】本题满分12分)已知是函数的一个极值点 （）求的值；（）当，时，证明：【答案】（）解：， -2分由已知得，解得 当时，在处取得极小值所以. -4分（）证明：由（）知，. 当时，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增. 所以在区间上，的最小值为.- 8分又，所以在区间上，的最大值为. -10分 对于，有所以. -12分 4.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分14分)已知函数（）求的单调区间；（）如果当且时，恒成立，求实数的范围.【答案】（1）定义域为 -2分 设 当时，对称轴，所以在上是增函数 -4分 当时，所以在上是增函数 -6分 当时，令得令解得；令解得所以的单调递增区间和；的单调递减区间-8分（2）可化为（）设，由（1）知： 当时，在上是增函数若时，；所以 若时，。所以 所以，当时，式成立-12分 当时，在是减函数，所以式不成立综上，实数的取值范围是-14分 解法二 ：可化为设 令 ,所以在由洛必达法则所以5.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数为奇函数，且在时取得极大值.（I）求b，c；（II）求函数的单调区间；（III）解不等式.【答案】6.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数.（I）求证：；（II）记曲线处的切线为，若与轴、轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.【答案】 7.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分14分）已知函数（I）讨论的单调性；（II）若有两个极值点，证明：【答案】 8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）已知函数，当时，函数有极大值.（）求实数、的值； （）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】当时，令得当变化时，的变化情况如下表：-+-单调递减极小值单调递增极大值单调递减根据表格，又，9.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分14分） 已知：函数，其中（）若是的极值点，求的值；（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的取值范围【答案】（）解： 依题意，令，解得 经检验，时，符合题意 4分 （）解： 当时， 故的单调增区间是；单调减区间是 5分 当时，令，得，或当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和 当时，的单调减区间是 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和 当时，的单调增区间是；单调减区间是 综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和 11分（）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意 当时，在的最大值是，由，知不合题意 当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意 所以，在上的最大值是时，的取值范围是 14分10.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分）已知函数（）.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.（3）若，求的取值范围.【答案】（）解：当时，所以，由，解得，由，解得或，所以函数的单调增区间为，减区间为和. （）解：因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，所以， 所以当时，有最大值为， 因为对任意，恒成立， 所以，解得或， 所以，实数的取值范围为或. （III）.11.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【答案】（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP所以， 所求函数关系式为3分若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为6分（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，9分当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。12分12.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分14分）定义：若，使得成立，则称为函数的一个不动点(1)下列函数不存在不动点的是（ ）-（单选）A. （） B.(b1)C. D.(2)设 (),求的极值(3)设 ().当0时，讨论函数是否存在不动点，若存在求出的范围，若不存在说明理由。【答案】（1）C4分（2）当a=0时，在上位增函数，无极值；当a0恒成立，在上位增函数，无极值；当a0时, =0,得，列表如下：X0_增极大值减当时，有极大值=综上，当时无极值，当a0时有极大值=.10分（3）假设存在不动点，则方程有解，即有解。设，（a0）有（2）可知极大值，下面判断极大值是否大于0，设，（a0）,列表如下：Ae0P(a)增极大值减当a=e时，极大值=p(e)=0,所以恒成立，即极大值小于零，所以无不动点。14分13.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本题满分13分）设函数（）求函数的单调递增区间；（）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围 【答案】方法2：，6分即，令， ，且，由在区间内单调递增，在区间内单调递减9分，又，故在区间内恰有两个相异实根 11分即综上所述，的取值范围是 13分所以12分14.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本小题满分13分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值【答案】1）分公司一年的利润L（万元）与售价的函数关系式为：4分（少定义域去1分）（2）令得或（不合题意，舍去）6分， 在两侧的值由正变负.8分所以（1）当即时， 10分（2）当即时，所以 12分15.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分14分）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。【答案】解：(1)，令得.3分当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增8分(2) 当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。.14分- 17 -
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