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第一章计数原理、随机变量及其概率分布第57课 分类计数原理与分步计数原理最新考纲内容要求ABC加法原理与乘法原理1分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法3分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有_6从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类计数原理得共有N336种3用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_个252选放百位共有9种不同放法；再放十位共有10种不同的放法；同样，个位也有10种不同的放法，由乘法原理可知共有91010900个三位数，其中无重复数字的三位数有998648个，故符合题意的共有900648252个4(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种32由于每位同学报哪个小组是等可能的，故对每名同学而言都有2种不同的报名方式，故共有2222232种不同的报名方法5.现有4种不同的颜色要对如图571所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种图57148按ABCD顺序分四步涂色，共432248种不同的着色方法分类计数原理(1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有_种(2)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_(1)6(2)13(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件有3种方法由分类计数原理，共有336种传递方法(2)当a0时，有x，b1,0,1,2，有4种可能；当a0时，则44ab0，ab1，()当a1时，b1,0,1,2，有4种可能；()当a1时，b1,0,1，有3种可能；()当a2时，b1,0，有2种可能有序数对(a，b)共有443213个规律方法1.第(2)题常见的错误：(1)想当然认为a0；(2)误认为ab.2分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复变式训练1从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_个. 【导学号：62172314】8以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，所求的数列共有2(211)8个分步计数原理(1)某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有_种(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法(1)C54(2)120(1)有两个年级选择甲博物馆共有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C54种(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理，得共有报名方法654120种规律方法1.利用分步计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事2在第(1)题中，除仅有两个年级选择甲博物馆外，其余4个年级易错误认为有45种选择方法变式训练2(1)设集合A1,0,1，B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数为_(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为_(用数字作答)(1)10(2)8(1)易知AB0,1，AB1,0,1,2,3，x有2种取法，y有5种取法，由分步计数原理，A*B的元素有2510个(2)第1步把甲、乙分到不同班级有A2种分法第2步分丙、丁：丙、丁分到同一班级有2种分法，丙、丁分到两个不同的班级有A2种分法由计数原理，不同的分法为2(22)8种两个计数原理的综合应用(1)已知集合M1,2,3,4，集合A，B为集合M的非空子集，若对xA，yB，xy恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有_个. 【导学号：62172315】(2)如图572，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法图572(1)17(2)260(1)当A1时，B有231种情况；当A2时，B有221种情况；当A3时，B有1种情况；当A1,2时，B有221种情况；当A1,3，2,3，1,2,3时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7313317(个)(2)区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法，所以共有5445433260种涂色方法规律方法1.(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步在分步时可能又用到分类计数原理(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化2解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成，第(2)题中，由于共边的区域不同色，从而是按区域A与区域C是否同色分类处理的变式训练3回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99；3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个(1)90(2)910n(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法，共计91090种填法，即4位回文数有90个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，由分步计数原理，共有910n种填法思想与方法1分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成2涉及加法与乘法原理的混合问题一般是先分类再分步3要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律易错与防范1切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行2分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步3确定题目中是否有特殊条件限制课时分层训练(一)A组基础达标(建议用时：30分钟)1标号分别为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个白色小球，C袋中有3个黄色小球，现从中取出两个小球(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个，所以应有12132311种取法(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个，所以应有134种取法2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？ 【导学号：62172316】解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法由分步计数原理，得到第二象限点的个数是326.(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个)3在校运动会上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有多少种？解分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有43224(种)第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有54321120(种)所以安排这8人的方式有241202 880(种)4如图573所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择图573要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数共有多少种？解将四种颜色编号为，A有4种涂法，设涂，B有3种涂法，设涂，下面分3类：若C涂，则D可涂，共3种方法；若C涂，则D可涂，共2种方法；若C涂，则D可涂，共2种方法；于是， 不同的涂法为43(322)84(种)5(2016全国卷改编)如图574，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径共有多少条？图574解分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路程6某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有213种，此时共有6318种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有122种；所以根据分类计数原理知共有18220(种)选法B组能力提升(建议用时：15分钟)1有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ 【导学号：62172317】解(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为36817(种)(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6814种选法，由分步计数原理知，总方法数为31442(种)(3)教师、男、女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种由分步计数原理知方法数为368144(种)2为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种抽调方法故共有CAC84种抽调方法3将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解设想染色按SABCD的顺序进行，对S，A，B染色，有54360(种)染色方法由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择从而对C，D染色有13227(种)染色方法由分步计数原理，总的染色方法有607420(种)4(2016扬州期末)对于给定的大于1的正整数n，设xa0a1na2n2annn，其中ai0,1,2，n1，i0,1,2，n1，n，且an0，记满足条件的所有x的和为An.(1)求A2；(2)设Anf(n)，求f(n)解(1)当n2时，xa02a14a2，a00,1，a10,1，a21，故满足条件的x共有4个，分别为x004，x024，x104，x124，它们的和是22.(2)由题意得，a0，a1，a2，an1各有n种取法；an有n1种取法，由分步计数原理可得a0，a1，a2，an1，an的不同取法共有nnn(n1)nn(n1)，即满足条件的x共有nn(n1)个当a0分别取i0,1,2，n1时，a1，a2，an1各有n种取法，an有n1种取法，故An中所有含a0项的和为012(n1)nn1(n1)；同理，An中所有含a1项的和为012(n1)nn1(n1)nn；An中所有含a2项的和为012(n1)nn1(n1)n2n2；An中所有含an1项的和为012(n1)nn1(n1)nn1nn1；当an分别取i1,2，n1时，a0，a1，a2，an1各有n种取法，故An中所有含an项的和为12(n1)nnnnnn；所以An(1nn2nn1)nnnn(nn1nn1)故f(n)nn1nn1.
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