高考数学复习 17-18版 第5章 第28课 函数建模问题(二)——三角函数、解三角形

第28课 函数建模问题(二)三角函数、解三角形最新考纲内容要求ABC正(余)弦定理及其应用1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图)图2812方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)如图282，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算()图282答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图283，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为_m.图28350因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m3在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为_米如图所示，山的高度MN200米，塔高为AB，CNMB，AC.所以塔高AB200(米)4如图284，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为_图284ysin设点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为ysin(t)由题意可得，函数的初相位是.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T60，所以|，即，所以ysin.5(教材改编)点P在直径AB1的半圆上移动(如图285所示)，过P作圆的切线PT且PT1，PAB，则_时，四边形ABTP面积最大图285AB是圆的直径，APB90，又AB1，故PAcos ，PBsin .S四边形ABTPSPABSTPBsin cossin2sin 2sin.，2时，S0；当cos 0，所以当cos 时，S取得最小值，此时sin ，AD5，所以中转点C距A处 km时，运输成本S最小规律方法此类问题常以正、余弦定理为解题切入点，通过引入参变量“”建立关于三角函数的解析式，在此基础上，借助最值工具(如：三角函数的有界性、导数或基本不等式)求解函数最值，从而解决实际问题变式训练1如图289，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角CAD45.图289(1)求BC的长度；(2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的视角分别为APB，DPC，问点P在何处时，最小？解(1)作AECD，垂足E，则CE9，DE6，设BCx，则tanCADtan(CAEDAE)1，化简得x215x540，解得x18或x3(舍)所以，BC的长度为18 m.(2)设BPt，则CP18t(0t18)，tan().设f(t)，f(t)，令f(t)0，因为0t18，得t1527，当t(0，1527)时，f(t)0，f(t)是增函数，所以，当t1527时，f(t)取得最小值，即tan()取得最小值，因为t218t1350恒成立，所以f(t)0，所以tan()0；当时，f()0，当时，f()取得最大值答：时，征地面积最大2. (2017镇江期中)广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，ACB，记该设施平面图的面积为S(x) m2，AOBx rad，其中x.图2812(1)写出S(x)关于x的函数关系式；(2)如何设计AOB，使得S(x)有最大值？解(1)由已知可得CBOx，S扇形AOBlr2x，在BCO中，由正弦定理可得：，所以CO2(sin xcos x)，从而SCBOBOCOsinBOC2sin2x2sin xcos x，所以S(x)2sin2x2sin xcos x2x2sin x(sin xcos x)2x. (2)S(x)2(sin 2xcos 2x)22sin2，由S(x)0，解得x，令S(x)0，解得x，所以增区间是；令S(x)0，解得x，所以减区间是；所以S(x)在x处取得最大值是2 m2.答：设计成AOB时，该设施的平面图面积最大是2 m2.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017无锡期中)如图2813，某自行车手从O点出发，沿折线OABO匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45且与点O相距20千米该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东(45)(其中sin ，090)且与点O相距5千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)图2813(1)求该自行车手的骑行速度；(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由. 【导学号：62172155】解(1)由题意知，OA20，OC5，AOC，sin .由于090，所以cos .由余弦定理，得AC5.所以该自行车手的行驶速度为15(千米/小时)(2)如图，设直线OE与AB相交于点M.在AOC中，由余弦定理，得：cosOAC，从而sinOAC.在AOM中，由正弦定理，得：OM20.由于OE27.520OM，所以点M位于点O和点E之间，且MEOEOM7.5.过点E作EHAB于点H，则EH为点E到直线AB的距离. 在RtEHM中，EHEMsinEMHEMsinEMHEMsin(45OAC)7.53.5.所以该自行车手会进入降雨区2(2017启东中学高三第一次月考)如图2814，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，ABC.管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P(异于M，N两点)，过点P修建与BC平行的小路PQ.问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由图2814解连结BP，过P作PP1BC垂足为P1，过Q作QQ1BC垂足为Q1.设PBP1，若0，在RtPBP1中，PP1sin ，BP1cos ，若，则PP1sin ，BP1cos ，若，则PP1sin ，BP1cos()cos ，PQ2cos sin .在RtQBQ1中，QQ1PP1sin ，CQ1sin ，CQsin ，DQ2sin .所以总路径长f()4cos sin ，f()sin cos 12sin1令f()0，得.当0时，f()0，当0.所以当时，总路径最短答：当BPBC时，总路径最短