2018届高三数学一轮复习： 第6章 第6节 数学归纳法

第六节数学归纳法 考纲传真1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()答案(1)(2)(3)(4)2(2016银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B.2C3 D.0C因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.3已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立Bk为偶数，则k2为偶数4(教材改编)已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.345n15用数学归纳法证明：“11)”由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_2k当nk时，不等式为1均成立. 【导学号：01772233】证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立.3分(2)假设nk(k2，且kN*)时不等式成立，即.6分则当nk1时，.10分当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.12分规律方法1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法2用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立，再证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化变式训练2已知数列an，当n2时，an1，又a10，aan11a，求证：当nN*时，an1a2.3分(2)假设当nk(kN*)时，ak1ak，5分aa(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10.8分又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nN*时，an10，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性 【导学号：01772234】解(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10).2分当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*).5分(2)证明：由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.7分由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立.10分由可知对所有nN*，an都成立.12分规律方法1.猜想an的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak1时，ak1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系2“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性变式训练3(2016洛阳调研)已知数列xn满足x1，xn1，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论解由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列.3分下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立.5分(2)假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，9分即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)(2)知，对nN*命题成立.12分思想与方法1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要弄清nk与nk1之间的关系在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法易错与防范1第一步验证当nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值2由nk时命题成立，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功