新编高考数学理一轮资源库 第5章学案24

新编高考数学复习资料学案24平面向量及其线性运算导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义自主梳理1.向量的有关概念(1)向量的定义：既有_又有_的量叫做向量(2)表示方法：用_来表示向量有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向用字母a，b，或用，表示(3)模：向量的_叫向量的长度或模，记作_或_(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是_(5)单位向量：长度为_单位长度的向量叫做单位向量与a平行的单位向量e_.(6)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_(7)相等向量：长度_且方向_的向量2向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，则向量叫做a与b的_，记作_，即_，这种求向量和的方法叫做向量加法的_(2)以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的_(3)加法运算律ab_ (交换律)；(ab)c_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_、_的向量，叫做a的相反向量，记作_(2)向量的减法定义aba_，即减去一个向量相当于加上这个向量的_如图，a，b，则_，_.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：|a|_；当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当a0时，a_；当0时，a_.(2)运算律设，是两个实数，则(a)_.(结合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a (a0)共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.5重要结论(1)()G为ABC的_；(2)0P为ABC的_自我检测1(2010四川改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.2下列四个命题：对于实数m和向量a，b，恒有m(ab)mamb；对于实数m和向量a，b (mR)，若mamb，则ab；若mana (m，nR，a0)，则mn；若ab，bc，则ac，其中正确命题的个数为_3在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则用a，b表示为_4(2010湖北改编)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.5(2009安徽)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.探究点一平面向量的有关概念辨析例1有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac.以上命题中正确的个数为_变式迁移1下列命题中正确的有_(填写所有正确命题的序号)|a|b|ab；若ab，bc，则ac；|a|0a0；若A、B、C、D是不共线的四点，则四边形ABCD是平行四边形探究点二向量的线性运算例2已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点求证：()变式迁移2如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知a，b，c，试用a、b、c表示，.探究点三共线向量问题例3如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值1若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则()如图所示2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A、B、C共线，则.(2)若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则，且1.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是_(填上正确的序号)； ； .2设a，b为不共线向量，a2b，4ab，5a3b，则使成立的值为_3设a，b是任意的两个向量，R，给出下面四个结论：若a与b共线，则ba；若ba，则a与b共线；若ab，则a与b共线；当b0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数1，使得a1b.其中正确的结论有_(填上正确的序号)4在ABC中，c，b，若点D满足2，则用b，c表示为_5(2010广东中山高三六校联考)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.6(2009湖南)如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.7已知a，b，(0)，则_.8O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足()，时，则()的值为_二、解答题(共42分)9(14分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？10(14分)在ABC中，BE与CD交于点P，且a，b，用a，b表示.11(14分)已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点(1)求；(2)若PQ过ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求证：3.答案 自主梳理1(1)大小方向(2)有向线段(3)大小|a|(4)任意的(5)1个(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和abab三角形法则(2)平行四边形法则(3)baa(bc)3.(1)长度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab4.(1)a|a|相同相反00(2)()aaaab5.(1)重心 (2)重心自我检测12解析由216，得|4，|4.而|2|，故|2.23解析根据实数与向量积的运算可判断其正确；当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，故错误；正确；由于向量相等具有传递性，故正确3ab解析由3得433(ab)，又ab，所以(ab)ab.43解析由题目条件可知，M为ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，则2m，即2m，联立可得m3.5.解析设a，b，那么ab，ab，又ab，()，即，.课堂活动区例10解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0时，则a与c不一定平行变式迁移1解析模相同，方向不一定相同，故不正确；两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，正确；只有零向量的模才为0，故正确；，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等故正确例2 证明方法一如图所示，在四边形CDEF中，0.在四边形ABFE中，0.得()()()()0.E、F分别是AD、BC的中点，0，0.2，即()方法二取以A为起点的向量，应用三角形法则求证E为AD的中点，.F是BC的中点，()又，()()()()即()变式迁移2解abc，c，b，a，abc，2a2bc.例3解题导引(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数使两向量能互相表示(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线证明在ABD中，因为a，b，所以ba.N点是BD的三等分点，(ba)b，(ba)bab.M为AB中点，a，()ab.由可得：.由共线向量定理知：，又与有公共点C，M、N、C三点共线变式迁移3(1)证明e1e2，3e12e2，8e12e2，e1e23e12e24e1e2(8e12e2).与共线又与有公共点C，A、C、D三点共线(2)解(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e12e2(2e1ke2)由平面向量的基本定理得解之，得k的值为.课后练习区1解析由减法的三角形法则知.22解析a2b(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2.3解析题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与相乘的向量为非零向量，(2)存在且唯一故正确4.bc解析如图，cc(bc)bc.5.解析，2.又2，2().，即.61解析作DFAB交AB的延长线于F，设ABAC1BCDE，DEB60，BD.由DBF45，得DFBF，所以，所以(1).7.ab解析()a(ba)ab.80解析由()，得()，即点P为ABC中BC边的中点，0.()00.9解设a，tb，(ab)，ab，(4分)tba.(6分)要使A、B、C三点共线，只需，即abtba，(8分)(13分)当t时，三向量终点在同一直线上(14分)10解取AE的三等分点M，使|AM|AE|，连结DM.设|AM|t，则|ME|2t.又|AE|AC|，|AC|12t，|EC|9t，(5分)DMBE，.|DP|DC|.()ab.(14分)11解(1)点G是ABO的重心，0.(2分)(2)M是AB边的中点，(ab)G是ABO的重心，(ab)P、G、Q三点共线，且有且只有一个实数，使.(5分)又(ab)ma(m)ab，nb(ab)a(n)b，(m)aba(n)b(8分)又因为a、b不共线，所以，(10分)消去，整理得3mnmn，故3.(14分)