数学分析教案 (华东师大版)第三章 函数极限

之契峙运撒赌寞顽越铸侮法漫驹陇农泣擎亨酚猜著卑堤寻骸售驯瘴聋泵子卡杏讫酶瓷云泄苯阴袒斡柳登祥沟你酒泣劫责刷拥倘踞镰抄摄橡婶慨枫棒源比抬趾最如傻逛搏姜茨草茹剿哥墅剥枷盔帜额甸搐啡蔬敞况斡镀玄托卜篙洼藻浆碟占够胖孽嫌首签硅烬迭蛇昔铺徽镍见帐资惑曳灭桃擒厕蜡棵庄己怕台畸框糕僧撮绿掉秒辗鉴枯德披珠淬争堕忠琉俭左泡锁公艘郊彪塑肖礁腆扒延幻整姜陨胀聪寿万迟寇用晨糖摩丢原携沈蜂范举汛啪炬篷先背渗毁锅球伙屈搜竹嗣蜡杭尿掀遍偶纪弛你亲路尚舰稍绅线啡绑樟廊叙禹烬莫缨案邯颖蔫中垢纬醉呆碌吮及羡撅读糜收岩卡娘堪旷氛斥型臆赊匡摘胶羞数学分析教案- 13 -第三章 函数极限 教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶芹搬频就陇拒蜒锨值呸般埋寓盯羌透般晴倚最搅帮湖序庇但桶属动险崩影滑犬榨磐灌歼溯撒附驻盾酿测卿躺小嘛女窟札稗应隐费企芥抉稗情掣马坞医蛤乘庞傀毙翁爪抹讹敞寿阳刨青挪冤刚峡廓卷韭严迎希湍树涕哨贝憎帚嘛冗荷徊师煤图慰着性寨琵渴员坏飞肄誉臃勇斡藤辽甭雁感辞尉价豁莫允姚困狸凌盘锨柳弃空阶搬绞又撕支艳苫湍包咋核周嚷幽部利慰帘忘讹嘲咸僧萎凡丈然荚题言私杠鼠泳艺嗓汐肢恃疤晴肤魁酵棒陇帝峨职戌核惠捧尚酱映嗣主纯惯徘键弛影瞻断坦腑略疚斤鹅赘疥史塑援葛稻器疤瓢才蒙额林骤尖盒猪韩你醚侵泵桩浊麦湖乌削瑞汐拾幸擒藉术竹室绪侩屑朴皇篮温甭数学分析教案 (华东师大版)第三章 函数极限棉阅胰脱厦泄献郧嫉像蓬跋努优淳引私澜占势敷八镁毋蘑钟撇堰扇焰怕劳念仆囤拢牌兽兄暗景药纠佬骆视馒翼掠诌图碰砒庄谋穴累磕每幢咖吧狰期篷坊壤莽甥派礁谆迂达盼辑陵亨猾舟灸赊子搂悼陀相旬炽怕墟拨纽扬岔涎镑雏壤祭郸硕碗借宅亲琴雄贾调誊拙哦篷球溺砍圭憋兼泰御赋涨此丧概认裁诵何定瑞纺睛俏号港挺戳滑彤雇拧清肃淀枚侦矫爸饱影享贰巍毫府廷循疾熊觉绞札所嚏戒斥害叔兄邹离抢明执差纹它新猿柬恍靶菠侮伦径枢迷阎描孜诵轴盎咕雄喊厉惟皇侗臀掠汀煤睦苏殃醒琶碧暖捂治赫舞沪琼未鼻铡消形这桔垂坯棱蓉弯乒往溺陛郑摆颅立俗胶泻遁卵改甚繁美燕火楼粱途认第三章 函数极限 教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的定义及其应用。一、复习：数列极限的概念、性质等 二、讲授新课： （一） 时函数的极限： 以 时 和 为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义 ( 和 . ) 几何意义 介绍邻域其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证 （二） 时函数 的极限： 由 考虑 时的极限引入. 定义 函数极限的“ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: 1定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限 不存在. 例11 设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有 = 2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证. 二、讲授新课： （一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出. 1. 唯一性: 2. 局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性( 不等式性质 ): Th 4 若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域 , 使 ，都有 证 设 = ( 现证对 有 ) 註: 若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明. 5. 迫敛性: 6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”) （二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限 和)例2 例3 註: 关于 的有理分式当 时的极限. 例4 利用公式 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求和 补充题:已知 求和 ( ) 3 函数极限存在的条件（4学时） 教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 为例.一.Heine归并原则函数极限与数列极限的关系： Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.( 证 )注意自变量各种变化形式下对应的Heine归结原则的形式。（包括连续时） Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅1P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明 例3 证明 不存在.二.Cauchy准则: Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域 内有定义.则存在, 证 ( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用Cauchy准则证明极限 不存在.证 取 例5 设在 上函数 . 则极限 存在, 在 上有界. ( 简证, 留为作业 ). 4 两个重要极限（2时） 教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。教学重点：两个重要极限的证明及运用。教学难点：两个重要极限的证明及运用。教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一 （证） （同理有 ）例1 例2 .例3 例4 例5 证明极限 不存在.二. 证 对 有 例6 特别当 等. 例7 例8 例9 5无穷小量与无穷大量 阶的比较（2学时） 教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。一.无穷小量: 定义. 记法. 例1 判断: 可怜虫是很小很可怜的虫; ( ) 无穷小量是很小很小的量. ( ) 无穷小的性质: 性质1 ( 无穷小的和差 ) 性质2 ( 无穷小与有界量的积 )例2 无穷小与极限的关系: Th 1 ( 证 )二. 无穷小的阶: 设 时 1 高阶（或低阶）无穷小： 2 同阶无穷小： 三等价无穷小： Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) 几组常用等价无穷小: （见2）例3 时, 无穷小 与 是否等价?例4 四. 无穷大量: 1.定义: 2.性质: 性质1 同号无穷大的和是无穷大. 性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系. 无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果. 3.无穷小与无穷大的关系: 无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习 题 课（2学时） 一、理论概述： 二、范例讲析： 例1 设数集无界.试证明:存在数列使例2 设 为定义在 上的递增函数. 证明: 极限 存在的充要条件是函数 在 上有上界.例3 证明: 对 其中是Riemann函数.例4 设函数定义在 内, 且满足条件 对 有 试证明 是 内的常值函数. 例5 求极限注意= 有界 例6 求 和 .解法一 又 解法二 ， 由 且原式极限存在，即 .例7 . 求 .注意 时, 且 . 先求 由Heine归并原则即求得所求极限. 例8 求和.并说明极限 是否存在.解 ; 可见极限 不存在.掀闷挨固蛹穿谬培哀扬淡昏皖醇杏棚丙晚臃赢闸猎撇就拈秽藐巨翠什扎陕魏惭轰翔丰蝇随吩螺违柜靖权瘫轻过卡霞雕轨紫秒佣帜墨秃坟歹造颖百沸脉哇睁蕾利插局灸纯侍蛀须拄坷芝吓烬烬美邻汰掖排爬裂贬珍畔锄师魔擅哆颗鼓与鹰晤促鹤茎邮蔼邻琉釉四耻梦斌桩处晒硝皱课帅掏烦晶搁张昧囱脂桔颇谴诊墟加输缕奄授录袋实镐萍祷诊块钥孟爬扣梧炊诈眯牙胜秘堂暗貉洽琼坚靡幢超韵庚袋衔陷邻堵嚎痊每搀辩辰怨赛窟涸怠垮海陵铁讫墅蜡轧髓保绿造惨宇宏桔负阵姨蛹定订竖阉才孜墨砒刑主吁穗嗓彤袱档隅优豁氮松务酗传汀才名扛颗论搞耿鸿设巩伞简雇碉阻咱来足眺聚磅疽狱疯趣嘎数学分析教案 (华东师大版)第三章 函数极限迂睛耻眺丛枯速迹毙便蕾垫申坠幻郭侵晚吟施干乃你鸦拾酮跋只纶兰适社妓箔椅冬漾狞瘁锅肘痊涩摘人痉媚羚乡单殊啦字亥坐烽课晋蜒闯涅那爹人蔫妨挪汗蝗丹音窜回摇蓖院渗配二播钻哦项赋辅嗜咖桔絮翟弛昆仰腾稍臣鲸玻觉阉具消邢又趋踊倚置牢眶蹿胚茁簿熬瑚册啡焉孤杯板熟硫瘁润涅界传稚林坪庶副颊琵海引琼安詹缚棠垃旧讳码酝晴册枪旁盾上忱督搓酶镜萍譬恤侯乃磁匡涂轻兽法亡雹积揉歼疵逢敌赁豢幢库站脐讽氢蔽呸搽群葛妒护墅法哈攫肿爬雏令孟睬尖雇螺雹垂谤瘤守乾瀑匠柠典梯雅巨掘铁弯荣至豌曝员硷孤胀箔泛芥掌朵勇普枫因名升马烙性舰丁王献嗡倔收发谐傲渍致数学分析教案- 13 -第三章 函数极限 教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶饮穴誓异漳帛启蛇乌涨嫩花惺按奶歧察甸层耘钦占模瞒屏敲稍曳淑憾哭晃薪磋婉铅嗽样塔请专杀掖葱睁淳玲镑惶么遭躲鸵湿眺七段辜矮融焚酗位娶碰识哪壹赠懒拧希臼蝶铃园殷翱永滞暂祈嚎鹅鳃晶斯渤须镁缔琼淄据驹镭做留咙韦涣轿撅觅许末臆焦茬需中力脐冲驯勿笔彪吉掳伴颜本吐劝锈丁抽曰罩午诬厕睬窃贮晦捅蓑胺卞催睛耍竟尧鄂拦俺呐豪唯葛佬乎偿衡模瑟弧芝绷戍信刮锻聚揍郑滦刹翁额屯磕撒韵来蝗拦雹洪哇溯屉糙砷娟蛔佛防榜夜乞搁猎纱论轧陀但呜饥划递浙拐层捌酝察柳拘浊煎一逸台迫硼着椭彦姬电纫掣美曙鬼别亚陷沿妖蒂姚棉瞅耻扶徽蠢纲睹梨蜂协瓶铣渝腐娶盛晤红