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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲传真1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式b24ac，0相交，0相切，0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程()解析依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B.相交C外切 D.相离B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交3(2017合肥调研)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B.2或12C2或12 D.2或12D由圆x2y22x2y10，知圆心(1,1)，半径为1，所以1，解得b2或12.4在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.5(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_4圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r.|AB|2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.直线与圆的位置关系(1)(2017豫南九校联考)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是() 【导学号：01772298】A相交B.相切C相离 D.不确定(2)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B.4C6 D.2(1)A(2)C(1)法一：圆心(0,1)到直线l的距离d10)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B.相交C外切 D.相离B法一：由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2.又a0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|.r1r21，r1r23,1|MN|0)x2(ya)2a2(a0)，M(0，a)，r1a.圆M截直线xy0所得线段的长度为2，圆心M到直线xy0的距离d，解得a2.以下同法一规律方法1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系2若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到3若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦变式训练2若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_4由题意O1与O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B关于OO1对称，AB为RtOAO1斜边上高的2倍又OAO1AOO1AC，得AC2.AB4.直线与圆的综合问题(2016江苏高考改编)如图841，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)图841(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.4分因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.5分(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.8分因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.12分规律方法1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解2求弦长常用的方法：弦长公式；半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)变式训练3(2017天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2y24x2ym0与直线xy20相切(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x2y0对称，且|MN|2，求直线MN的方程解(1)将圆C：x2y24x2ym0化为(x2)2(y1)25m.1分圆C：x2y24x2ym0与直线xy20相切，圆心(2,1)到直线xy20的距离d2r，4分圆C的方程为(x2)2(y1)24.5分(2)若圆C上有两点M，N关于直线x2y0对称，则可设直线MN的方程为2xyc0.7分|MN|2，半径r2，圆心(2,1)到直线MN的距离为1.则1，c5.10分直线MN的方程为2xy50.12分 思想与方法1直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用2计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法：弦长公式|AB|xAxB|.易错与防范1求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“1”列方程来简化运算2过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解
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