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课时分层训练(五十一)抛物线A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2016四川高考)抛物线y24x的焦点坐标是()A(0,2)B.(0,1)C(2,0) D.(1,0)D由y24x知p2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)2(2017广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线yx2上，且与直线y30相切，则此圆恒过定点()A(0,2) B.(0，3)C(0,3) D.(0,6)C直线y30是抛物线x212y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)3抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B.C1 D.B由双曲线x21知其渐近线方程为yx，即xy0，又y24x的焦点F(1,0)，焦点F到直线的距离d.4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216xC由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5，得5，又p0，解得p2或p8.故C的方程为y24x或y216x.5O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为() 【导学号：01772325】A2 B.2C2 D.4C如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|22.二、填空题6(2017山西四校三联)过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为_. 【导学号：01772326】8设A(x1，y1)，B(x2，y2)易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是yx1.联立消去y得x26x10.所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.7如图871，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.图8711由题意可得C，F，则1(舍去1)8(2017江西九校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.2y22px的准线为x.由于ABF为等边三角形因此不妨设A，B.又点A，B在双曲线y2x21，从而1，所以p2.三、解答题9已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解(1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24，因为x1x2y1y244p12，可得p2，则抛物线的方程为y24x.5分(2)由(1)知y24x，p2，可知y1y24m，y1y28.7分设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.又|AB|y1y2|.由得(1m2)(16m232)(4m24)2，10分解得m23，m，所以直线l的方程为xy20或xy20.12分10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10或t0，解得t0或t3.3抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值 【导学号：01772328】解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40. 2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2 ，所以y12y2.联立上述三式，消去y1，y2得m.所以直线AB的斜率是2. 5分(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.8分因为2SAOB2|OF|y1y2| 4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分
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