数学文二轮教师用书：第2部分 专题1 第2讲　三角恒等变换与解三角形 Word版含解析

第2讲三角恒等变换与解三角形做小题激活思维1若cos ，为第四象限角，则cos的值为()A.B.C. D.B因为cos ，为第四象限角，则sin ，故coscos sin ，故选B.2一题多解已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2()A BC. D.A法一：sin cos ，sin 2，又为第二象限角且sin cos 0，2k2k(kZ)，4k24k(kZ)，2为第三象限角，cos 2.法二：sin cos ，sin 2，为第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos ，由解得cos 22cos21.3在ABC中，若AB，A45，C75，则BC等于()A3 B.C2 D3答案A4在ABC中，若AB5，AC3，BC7，则sin A等于()A B.C D.答案B5在钝角三角形ABC中，已知AB，AC1，B，则ABC的面积为()A.B. C.D.答案C扣要点查缺补漏1和差公式及辅助角公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .如T1.(3)tan().(4)sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 2.如T2.(5)辅助角公式：asin bcos sin()，其中cos ，sin .2正弦定理和余弦定理(1)2R.如T3.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C，cos A，cos B，cos C.如T4.3三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)(2)Sabsin Cbcsin Acasin B如T5.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆的半径)三角恒等变换(5年5考)高考解读三角恒等变换是三角变换的工具，在高考中主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查，也可以与三角函数的性质综合考查.1(2019全国卷)tan 255()A2B2C2 D2Dtan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.故选D.2(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()A. B.C. D.切入点：2sin 2cos 21关键点：正确应用倍角公式及平方关系，注意的范围B由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.，2sin cos .又sin2cos21，sin2.又，sin .故选B.3一题多解(2018全国卷)已知tan，则tan _.切入点：tan ；两角差的正切公式关键点：解关于tan 的方程法一：因为tan ，所以，即，解得tan .法二：因为tan，所以tan tan.4(2017全国卷)已知，tan 2，则cos_.切入点：tan ；两角差的余弦公式关键点：利用同角三角函数基本关系式，求出sin 和cos 的值因为，且tan 2，所以sin 2cos ，又sin2cos21，所以sin ，cos ，则coscos cos sin sin .教师备选题1(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.将转化为.由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tantan.2(2018江苏高考)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，所以cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2.因此tan()tan2().1三角函数式的化简要遵循的“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”2求值的基本类型(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角求解；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，确定角的度数1(给角求值)()AB1C.D1D原式222sin 301.故选D.2(给值求值)已知cos，则cos xcos()A1 B1 C. D.Bcos xcoscos xcos xcos sin xsin cos xsin xcos1，故选B.3(给值求角)若sin 2，sin()，且，则的值是()A. B.C.或 D.或A因为，所以2，又sin 2，所以2，所以cos 2.又，所以，故cos()，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，又，故，故选A.利用正、余弦定理解三角形(5年12考)高考解读高考对该部分内容的考查重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，且常和三角恒等变换相结合，考查形式为边、角、面积的计算.角度一：三角形的边、角计算1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4D3切入点：由asin Absin B4csin C，利用正弦定理得出a，b，c的关系关键点：利用cos A得出b，c的关系Aasin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故选A.2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B. C. D.切入点：化简sin Bsin A(sin Ccos C)0.关键点：正确运用公式，由条件sin Bsin A(sin Ccos C)，求得A的某一三角函数值，进而求A，再求C.B因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知C为锐角，故C.故选B.角度二：三角形的面积、周长的计算3(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.切入点：SABC；SABCabsin C.关键点：利用上述求C的一个三角函数值C因为SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以tan C1.又因为C(0，)，所以在ABC中，C.故选C.4(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_切入点：利用正弦定理化简bsin Ccsin B4asin Bsin C，求得sin A；利用余弦定理及b2c2a28求ABC的面积关键点：正确利用正弦定理将“边”转化为“角”，求出sin A是解决本题的关键由bsin Ccsin B4asin Bsin C，得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.5(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长切入点：SABCacsin B，然后把边转化为角可求sin Bsin C.利用中的结论和6cos Bcos C1求BC，进而求出A，然后利用三角形的面积公式和a的值求bc的值，最后利用余弦定理求bc.关键点：正确利用SABC，求sin Bsin C以及利用6cos Bcos C1建立边b和c的关系式解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.教师备选题1(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.75如图，由正弦定理，得，sin B.又cb，B45，A180604575.2一题多解(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB.2sin Bcos Bsin(B)sin B.又sin B0，cos B.B.法二：在ABC中，acos Cccos Ab，条件等式变为2bcos Bb，cos B.又0B，B.3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.1正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理2三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化1(求边)一题多解ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A.B.C2D3D法一：(应用余弦定理)由余弦定理得522b222bcos A，cos A，3b28b30，b3.故选D.法二：(应用正弦定理)由cos A得sin A，根据得sin C，所以A与C互余，故ABC为直角三角形，因此b3.2(求角)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba，a2，c，则C()A. B. C. D.D由ba，得sin Bsin A .因为sin Bsin(AC)sin(AC)，所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0)，cos Asin A，所以tan A.因为0A，所以A.由正弦定理，得sin C.因为0C，所以C.故选D.3(求周长)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为4，且2bcos Aa2c，ac8，则其周长为()A10 B12 C8 D82B因为ABC的面积为4，所以acsin B4.因为2bcos Aa2c，所以由正弦定理得2sin Bcos Asin A2sin C，又ABC，所以2sin Bcos Asin A2sin Acos B2cos Asin B，所以sin A2cos Bsin A因为sin A0，所以cos B.因为0B，所以B，所以ac16，又ac8，所以ac4，所以ABC为正三角形，所以ABC的周长为3412.故选B.4(综合应用)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为accos B，且sin A3sin C.(1)求角B的大小；(2)若c2，AC的中点为D，求BD的长解(1)SABCacsin Baccos B，tan B.又0B，B.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得，b26222226cos 6028，b2.cos A.D是AC的中点，AD.BD2AB2AD22ABADcos A22()22213.BD.解三角形的综合问题(5年3考)高考解读高考对该内容的考查主要有2种方式(1)以平面几何知识为载体，考查正、余弦定理及面积公式的应用，解决此类问题多需要添加辅助线转化.(2)同三角函数或基本不等式相结合，考查最值或范围问题，难度偏大，但文科考查频率较小.角度一：与平面几何的综合问题(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.切入点：四边形ABCD的已知边和角关键点：利用正弦定理求ADB的正弦值，然后求余弦值；利用余弦定理求边长解(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.角度二：最值或范围问题(2014全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_切入点：化简等式(2b)(sin Asin B)(cb)sin C.关键点：根据条件借助正、余弦定理和基本不等式，求出bc的范围2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，SABCbcsin A4.教师备选题1(2015全国卷)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.解(1)由正弦定理，得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，所以B30.2(2014全国卷)四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积解(1)由题设及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos C，故C60，BD.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin 602.解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.1(求值)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A()A.B.C.D.D如图，过点A作ADBC于点D.设BCa，由题意知ADBCa，B，易知BDADa，DCa.在RtABD中，由勾股定理得，ABa.同理，在RtACD中，ACa.SABCABACsinBACBCAD，aasinBACaa，sinBAC.2(最值、范围问题)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C.(1)求B的大小；(2)求sin Acos C的取值范围解(1)锐角三角形ABC中，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C，故b2a2c2ac，cos B，又B，所以B.(2)由(1)知，CA，故sin Acos Csin Acossin Acos Asin.又A，CA，所以A，A，sin，故sin Acos C的取值范围为.3(与三角函数的综合问题)已知函数f(x)2cos2x(sin xcos x)22.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)1，若AC边上的高等于b，求cos C的值解(1)由题意知f(x)2cos2x12sin xcos x22sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2xsin.f(x)max，此时2x2k，kZ，xk，kZ.f(x)取得最大值时x的集合为xkZ.(2)f(A)sin1，sin.又A(0，)，2A，2A，解得A.设AC边上的高为BD，则BDb.A，BDADb，CDb，BCb，cos C.