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第2讲基本初等函数、函数与方程考情考向高考导航1掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质2以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理3能利用函数解决简单的实际问题真题体验1(2018全国卷)已知函数f(x)log2(x2a)若f(3)1，则a_.解析：f(x)log2(x2a)且f(3)1，f(3)log2(9a)1，9a2，a7.答案：72(全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()AB.C. D1解析：Cx22xa(ex1ex1)，设g(x)ex1ex1，g(x)ex1ex1ex1，当g(x)0时，x1，当x1时，g(x)0函数单调递减，当x1时，g(x)0，函数单调递增，当x1时，函数取得最小值g(1)2，设h(x)x22x，当x1时，函数取得最小值1，若a0，函数h(x)，和ag(x)没有交点，当a0时，ag(1)h(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即a21a，故选C.3(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab Dbca解析：Balog20.2log210，b20.2201，0c0.20.30.201，bca.选B.4(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析：C令g(x)f(x)xa0，则f(x)xa，要使g(x)存在2个零点，则需yf(x)与yxa有两个交点，画出函数f(x)和yxa的图象如图所示，则需a1，a1.主干整合1指数式与对数式的七个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN(注：a，b0且a，b1，M0，N0)2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数3函数的零点问题(1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解4应用函数模型解决实际问题的一般程序.热点一基本初等函数的图象与性质例1(1)(2019济南三模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()解析B由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B.(2)(2019郑州三模)已知a(a1)0，若函数f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，且函数g(x)在R上有最大值，则a的取值范围为()A.B.C. D.解析Af(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，a，a(a1)0，|a|(1，)当x时，g(x)4x(0,2，又g(x)在R上有最大值，则当x时，log|a|x2，且|a|，log|a|2，|a|2，则|a|，又a，a.(3)(2019天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()Aacb BabcCbca Dcab解析A利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待alog52log5，blog0.50.2log0.50.252，0510.50.20.50，故c1，所以acb.故选A.基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1两种情况讨论：当a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a1时，两函数在定义域内都为减函数(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断(1)(2020银川模拟)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()解析：B函数ylogax过点(3,1)，1loga3，解得a3，由于y3x不可能过点(1,3)，故选项A错误；由于yx3过定点(1,1)，故选项B正确；由于y(x)3x3不可能过点(1,1)，故选项C错误；由于ylog3(x)不可能过点(3，1)，故选项D错误故选B.(2)(2019全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()AfffBfffCfffDfff解析：C本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力f(x)是R的偶函数，ff(log34)log3412022，又f(x)在(0，)单调递减，f(log34)ff，fff，故选C.热点二函数的零点与方程的根确定函数零点的个数或其存在区间例21(1)(2019南昌调研)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3 D4解析B(1)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数即为函数y|log0.5x|与y图象的交点个数在同一坐标系中作出函数y|log0.5x|与y的图象，易知有2个交点(2)(2020兰州模拟)方程ln(x1)0(x0)的根存在的大致区间是()A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)解析B设f(x)ln(x1)，易f(1)ln(11)2ln 220，而f(2)ln 310，所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2)所以B选项正确判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题根据零点情况求参数范围例22(1)(2020四川凉山诊断)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,1)(1,2) D(，1)解析A函数f(x)(aR)在R上有两个零点，且x是函数f(x)的一个零点，方程2xa0在(，0上有一个解，再根据当x(，0时，02x201，可得0a1.故选A.(2)(2019山东济南三模)已知偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，则实数a的取值范围是_解析偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，f(x2)f(x11)f(x)，函数f(x)的周期为2，在区间1,3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与yloga(x2)的图象在区间1,3内有3个交点当0a1时，函数图象无交点，数形结合可得a1且解得3a5.答案(3,5)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(1)(2019武昌二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(0，)时，f(x)2 018xlog2 018x，则函数f(x)的零点个数为_解析：在同一直角坐标系中作出函数y2 018x和ylog2 018x的图象如图所示，可知函数f(x)2 018xlog2 018x在x(0，)上存在一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在x(，0)上只有一个零点，又f(0)0，函数f(x)的零点个数是3.答案：3(2)(2020张家界模拟)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_解析：画出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出当0k1或k2时符合题设答案：0,1)(2，)热点三函数的实际应用数学建模素养数学建模函数建模在实际问题中的妙用解函数的模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答例3(1)(2020凉山诊断)某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为()A1 B2C3 D4解析C(1)设总运费为y元，甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，调运12(8x)(x4)台电脑(0x6，xN)至A地则总运费y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，y20x960(0x6，xN)若y1 000，则20x9601 000，得x2.又0x6，xN.0x2，xN.x0,1,2，即有3种调运方案(2)(2020湖南名校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为PP0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时解析前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t5时，P0.9P0，则(ek)50.9，ek0.9，PP0ektP0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P0.81P0，代入得0.81t，解得t10，即需要花费10小时答案10解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参数变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解(2019北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1 B10.1Clg10.1 D1010.1解析：A考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，令m21.45，m126.7，lg(m2m1)(1.4526.7)10.1，1010.1，故选A.限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2019云南检测)设a60.7，blog70.6，clog0.60.7，则a，b，c的大小关系为()AcbaBbcaCcab Dacb解析：D因为a60.71，blog70.60,0clog0.60.71，所以acb.2(北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033 B1053C1073 D1093解析：D设x，两边取对数，lg xlglg3361lg1080361lg 38093.28，所以x1093.28，即最接近1093，故选D.3(2020安徽皖中名校联考)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c) B(，a)和(a，b)C(b，c)和(c，) D(，a)和(c，)解析：A由题意可得f(a)0，f(b)0，f(c)0，则由零点存在性定理可知，选A.4(2019铁人中学期中)函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当1x1时，f(x)|x|.若yf(x)的图象与g(x)logax(a0且a1)的图象有且仅有四个交点，则a的取值集合为()A4,5 B4,6C5 D6解析：C函数f(x2)f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，画出函数f(x)的图象(图略)，数形结合可知，当g(x)的图象过点(5,1)时，f(x)的图象与g(x)logax的图象仅有四个交点，则g(5)loga51，得a5.故选C.5(2020广西三校)函数f(x)x2lg的图象()A关于x轴对称 B关于原点对称C关于直线yx对称 D关于y轴对称解析：B因为f(x)x2lg，所以其定义域为(，2)(2，)，所以f(x)x2lgx2lgf(x)，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称6某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每次提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()A100元 B110元C150元 D190元解析：D设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y(1 0005x)(20x)5x2900x20 0005(x90)260 500.故当x90时，ymax60 500，此时售价为每件190元7(2020深圳模拟)已知函数f(x)ln x2x3，其中x表示不大于x的最大整数(如1.61，2.13)，则函数f(x)的零点个数是()A1 B2C3 D4解析：B设g(x)ln x，h(x)2x3，当0x1时，h(x)3，作出图象，两个函数图象有一个交点，即f(x)有一个零点；当2x3时，h(x)1，ln 2g(x)ln 3.此时两函数图象有一个交点，即f(x)有一个零点，当x3以后，两函数图象无交点，综上，共有两个零点8(2020贵阳模拟)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f(x)作为奖励函数模型，则最小的正整数a的值为()A310 B315C320 D325解析：B对于函数模型f(x)15，a为正整数，函数在50,500上单调递增，f(x)minf(50)7，得a344，要使f(x)0.15x对x50,500恒成立，即a0.15x213.8x对x50,500恒成立，所以a315.综上，最小的正整数a的值为315.9(山东卷)已知当x0,1时，函数y(mx1)2 的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，) B(0,13，)C(0，2，) D(0，3，)解析：B当0m1时，1，y(mx1)2单调递减，且y(mx1)2(m1)2,1，ym单调递增，且ymm,1m，此时有且仅有一个交点；当m1时，01，y(mx1)2在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m1)21mm3，选B.10(2020长春模拟)已知函数f(x)函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A1,1) B0,2C2,2) D1,2)解析：Df(x)g(x)f(x)2x而方程x20的解为2，方程x23x20的解为1，2；若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则解得1a2，实数a的取值范围是1,2)故选D.11(2019长春质量监测)已知函数f(x)与g(x)1sin x，则函数F(x)f(x)g(x)在区间2,6上的所有零点的和为()A4 B8C12 D16解析：D令F(x)f(x)g(x)0，得f(x)g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)1与g(x)1sin x的图象，如图所示f(x)，g(x)的图象都关于点(2,1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在2,6上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)f(x)g(x)的零点，且这些交点关于直线x2成对出现，由对称性可得所有零点之和为42216，故选D.12(2020烟台模拟)已知函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)0成立(其中f(x)是f(x)的导函数)，若a30.3f(30.3)，b(log3)f(log3)，cf，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCcba Dacb解析：B因为当x(，0)时不等式f(x)xf(x)0成立，即xf(x)0，所以g(x)xf(x)在(，0)上是减函数又因为函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数yf(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数yf(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)xf(x)是定义在R上的偶函数，所以g(x)xf(x)在(0，)上是增函数又因为30.31log30log32，2log330.31log30，所以f30.3f(30.3)(log3)f(log3)，即f30.3f(30.3)(log3)f(log3)，即cab，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2020福建三明模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：分)后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降到40 需要20分钟，那么此杯咖啡从40 降温到32 时，还需要_分钟解析：由已知可得Ta24，T088，T40，则4024(8824)，解得h10.当咖啡从40 降温到32 时，可得3224(4024)，解得t10.故还需要10分钟答案：1014(2020湖南省四校联考)已知函数f(x)lg xx9在区间(n，n1)(nZ)上存在零点，则n_.解析：易知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)在其定义域内单调递增，由零点存在性定理知，若函数f(x)在区间(n，n1)(nZ)上存在零点，则有又f(4)lg 469lg 430，f(5)lg 59lg 50，f(6)lg 699lg 60，所以函数f(x)在(5,6)上存在零点，所以n5.答案：515(2018浙江卷)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_解析：2，f(x)当x2时，x40得2x4.当x2时，x24x30，解得1x2.综上不等式的解集为1x4.当yx24x3有2个零点时，4.当yx24x3有1个零点时，yx4有1个零点，13.13或4.答案：(1,4)；(1,3(4，)16(2019合肥调研)已知f(x)(其中a0，e为自然对数的底数)，若g(x)ff(x)在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是_解析：令tf(x)，所以g(x)f(t)，g(x)ff(x)在R上要有三个不同的零点，则f(t)0必有两解，所以2a0，所以f(x)的大致图象如图所示，又f(x)的零点为x10，x22，所以yf(t)必有两个零点，t12和t20，而xa时，f(x)mina24，所以要使yf(t)的两个零点都存在，则a242，否则t12这个零点就不存在，故a22，所以a0.答案：，0)
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