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三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十章 立体几何 一、选择题1. 【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关【答案】D考点：点到面的距离;锥体的体积.【名师点睛】本题考查空间下几何体中相应点的坐标以及四面体的体积，点到面的距离，本题属于基础题，要准确确定三角形的底和高，利用锥体的体积求出多面体的体积.2.【2014高考北京理第7题】在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A B且 C且 D且【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥在平面上的投影为，所以，设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，所以，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.【名师点睛】本题考查空间直角坐标系下几何体的位置和相应点的坐标以及正投影的概念，正投影的位置、形状和面积，本题属于基础题，要准确写出点的坐标，利用坐标求出三角形的面积.3. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.4. 【2014高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线.，满足，则下列结论一定正确的是( )A. B. C.既不平行也不垂直 D.的位置关系不确定【答案】D【解析】如下图所示，在正方体中，取为，为，取为，为，；取为，为，则；取为，为，则与异面，因此.的位置关系不确定，故选D.【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等题解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理5.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.考点： 三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:5.【 2013湖南7】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A B C D 【答案】 C【解析】试题分析： 由题知，正方体的棱长为1，水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为 ；因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为.【考点定位】三视图【名师点睛】本题主要考查了简单空间图形的三视图，解决问题的关键是正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键6.【 2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱【名师点睛】解决有关三视图的题目，主要是根据三视图首先得到几何体的空间结构图形，然后运用有关立体几何的知识进行发现计算即可，问题在于如何正确的判定几何体的空间结构，主要是根据“长对正，高平齐，宽相等”进行判断.7.【2015高考山东，理7】在梯形中， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为： 故选C.【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.8. 【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.9.【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） 【答案】【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.【名师点晴】本题主要考查的是正四棱柱的几何特征；球的体积，属于容易题解题时一定要注意正四棱柱的几何特征（实际上是一个特殊的长方体），求出球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式直接运算即可10. 【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可11. 【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B考点：空间几何体的三视图及表面积【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题12. 【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D【答案】D【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D【考点定位】三视图【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题13. 【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【考点定位】1.三视图；2.简单几何体的体积.【名师点睛】本题考查了三视图，直观图，组合体的体积，属于中档题，注意由三视图还原几何体的解题的关键，注意计算的准确性14. 【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题15. 【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，A（1，0，0），故，所以，故选C.【考点定位】异面直线所成的角.【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.16. 【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.17. 【2014四川，理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【考点定位】空间直线与平面所成的角.【名师点睛】通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力.18【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C【解析】试题分析：由题意知，故选C考点：空间点、线、面的位置关系【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系19. 【2015高考新课标1，理6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以九章算术中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.20. 【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】试题分析：如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,选A.考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.21. 【2014课标，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为，且, , ，故最长的棱长为6，选B【考点定位】三视图【名师点睛】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了考生的识图能力以及由三视图还原物体的空间想象能力。22.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.23. 【2014年.浙江卷.理3】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A. 90 B. 129 C. 132 D. 138答案：解析：有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为，故选D考点：三视图,几何体的表面积.【名师点睛】求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积24.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，体积，故选C.【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.【名师点睛】本题主要考查了根据三视图判断空间几何体的形状，再计算其体积，属于容易题，在解题过程中，根据三视图可以得到该几何体是一个正方体与四棱锥的组合，将组合体的三视图，正方体与锥体的体积计算结合在一起，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算，体现了知识点的交汇.25. 【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解26. 【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】试题分析：设，设，则由题意，在空间图形中，设，在中，在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，过作，连结，则就是二面角的平面角，在中，同理，故，显然面，故，在中，在中，（当时取等号），而在上为递减函数，故选B.【考点定位】立体几何中的动态问题【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题，属于较难题，由于的形状不确定，与的大小关系是不确定的，再根据二面角的定义即可知，当且仅当时，等号成立以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，12年，13年选择题压轴题均考查了立体几何背景的创新题，解决此类问题需在平时注重空间想象能力的培养，加强此类问题的训练.27. 【2013高考重庆理第5题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A B C200 D240【答案】C【解析】由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V(28)410200，故选C【考点定位】三视图、柱体的体积.【名师点睛】本题考查了三视图、柱体的体积的求法，属于基础题，注意由三视图准确得到几何体的类型，然后选用相应的体积公式求其体积.28. 【2014高考重庆理第7题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54 B.60 C.66 D.72【答案】B【解析】试题分析：考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积.【名师点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积的求法，属于中档题，注意由三视图准确得到几何体的类型，然后选用相应的表面公式求其表面积.29. 【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、 B、C、 D、【答案】A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，选A.【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.30. 【2014，安徽理7】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A21+ B18+ C21 D18【答案】A【解析】试题分析：由题意，该多面体的直观图是一个正方体挖去左下角三棱锥和右上角三棱锥，如下图，则多面体的表面积故选A考点：多面体的三视图与表面积【名师点睛】三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.另外对于几何体挖掘性问题，可以先判断出几何体的形状，再通过实线和虚线的不同，画出挖掘后的图形.31. 【2014，安徽理8】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）A24对 B30对 C48对 D60对【答案】C【解析】试题分析：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对故选C考点：1直线的位置关系；2异面直线所成的角【名师点睛】排列组合问题经常性跟几何体紧密联系在一起，做好这类题的关键是：读懂题意；找到适合的排列组合模型；分类讨论.正方体中直线的位置关系比较特殊，要通过面对角线的位置关系确定，不能出现重复或者遗漏.32.【2015高考安徽，理5】已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，则与平行 （B）若，平行于同一平面，则与平行 （C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线 （D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.33. 【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，是等腰直角三角形，是等边三角形，则，所以四面体的表面积，故选B. 【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图；2.空间几何体表面积的求法.【名师点睛】三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.34. 【2014湖北卷5】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.和 B.和 C. 和 D.和 【答案】D 【解析】试题分析：设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯视图为，故选D.考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题.【名师点睛】将空间几何体的三视图与空间直角坐标系融合在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是正确地在空间直角坐标系中画出该几何体的原始图像.35. 【2014福建，理2】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）圆柱 圆锥 四面体 三棱柱【答案】A【解析】试题分析：由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选A.考点：三视图.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键，本题可用逐个排除的方法，由圆柱的三视图不可能是三角形，可知该几何体不可能是圆柱.36.【2015高考福建，理7】若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究37. 【2015高考北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.38. 【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A B C D5【答案】C考点定位：本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积，考查空间线线、线面的位置关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算.【名师点睛】本题考查三视图及多面体的表面积，本题属于基础题，正确利用三视图还原为原几何体，特别是有关数据的还原，另外要利用线面垂直的性质，判断三角形的形状，特别是侧面的形状为等腰三角形，正确求出三个侧面的面积和底面的面积.39. 【2014辽宁理4】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则【答案】B【解析】试题分析：若A若则与可能平行、相交、异面，故A错误； B若，则，显然成立；C若，则或故C错误；D若，则或或与相交.考点：1.命题的真假；2.线面之间的位置关系. 【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系及垂直关系.解题分关键是熟记相关性质定理、判定定理等，首先利用举反例排除错误选项，是解答此类问题的常用方法.本题属于基础题，覆盖面较广，难度不大.40. 【2014辽宁理7】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体的直观图是棱长为2的正方体，分别在两个对角截去了底面半径为1，高为2的圆柱的四分之一，故该几何体的体积为：.考点：1.三视图；2.柱体的体积公式. 【名师点睛】本题考查三视图及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解三视图的画法规则，明确所得几何体的特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查三视图及几何体的几何特征的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是一道较为常规的题型.41. 【2015湖南理2】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.二、填空题1.【2014天津，理10】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_【答案】【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为（）考点：1立体几何三视图；2几何体体积的计算【名师点睛】本题考查三视图及求组合体的体积，本题属于基础题，正确利用三视图还原为原几何体，特别是有关数据的还原，本题中的几何体为一个圆锥与一个圆柱的组合体，借助三视图中的数据，求出圆锥和圆柱的体积，两体积相加得出组合体的体积，三视图问题为今年高考热点，是必考题，是高考备考的重点，近几年出题难度逐年增加.2. 【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .【答案】【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为，2,2，则底面等腰三角形的顶角为，所以三棱锥的体积为.考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图3. 【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】 【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积4【2014江苏，理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，则，又，所以，则.【考点定位】圆柱的侧面积与体积【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体5【2015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 【答案】【解析】由体积相等得：【考点定位】圆柱及圆锥体积【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体6【2014山东.理13】三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则_.【答案】【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，【名师点睛】本题考查三棱锥的几何特征以及几何体的体积.解答本题的关键，是利用等体积法实施转化，用相同的量表示两个体积.本题属于能力题，在考查三棱锥的几何特征以及几何体的体积等基础知识的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力.7. 【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.8. 【2016高考浙江理数】如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】【解析】试题分析：中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在中，.由余弦定理可得，所以.过作直线的垂线，垂足为.设则，即，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积.设，因为，所以.则.（1）当时，有，故.此时，.，因为，所以，函数在上单调递减，故.（2）当时，有，故.此时，.由（1）可知，函数在单调递减，故.综上，四面体的体积的最大值为.考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值9. 【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .【答案】【解析】【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小，点M到达Q点时，角最小，从而余弦值最大.10. 【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_m3.【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为故答案为2考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据11.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 【答案】.【解析】试题分析：如下图，连结，取中点，连结，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，即异面直线，所成角的余弦值为.【考点定位】异面直线的夹角.【名师点睛】本题主要考查了异面直线夹角的求解，属于中档题，分析条件中出现的中点，可以考虑利用三角形的中位线性质利用平移产生异面直线的夹角，再利用余弦定理的变式即可求解，在复习时应了解两条异面直线夹角的范围，常见的求异面直线夹角的方法等知识点.13.【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】.【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，即，母线与底面夹角为，则为，.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.【名师点睛】圆锥的母线与底面所成的角为圆锥轴截面的底角，圆锥的侧面积为通过直角三角形可求得之间关系.14. 【2013上海,理19】如图，在长方体ABCDABCD中，AB2，AD1，AA1.证明直线BC平行于平面DAC，并求直线BC到平面DAC的距离【答案】【解析】如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(1,0,1)，B(1,2,1)，C(0,2,1)，C(0,2,0)，D(0,0,0)设平面DAC的法向量n(u，v，w)，则n，n.因为(1,0,1)，(0,2,1)，n0，n0，所以解得u2v，w2v.取v1，得平面DAC的一个法向量n(2,1，2)因为(1,0，1)，所以n0，所以n.又BC不在平面DAC内，所以直线BC与平面DAC平行由(1,0,0)，得点B到平面DAC的距离d，所以直线BC到平面DAC的距离为.【考点定位】空间向量求线面距【名师点睛】利用空间向量数量积的变形公式求线面距，也可利用等体积法求线面距.利用待定系数法求平面法向量.15.【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 . 【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积.【考点定位】三视图与旋转体体积公式.【名师点睛】主要考查三视图与旋转体体积公式及空间想象能力、运算能力.识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对旋转体体积公式的掌握与应用、计算能力.三、解答题1. 【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) .【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量， 由此可得，又因为直线平面，所以平面(III)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.【名师点睛】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.将立体几何向量化，体现向量工具的应用，即把几何的证明与计算问题转化为纯代数的计算问题，是向量的最大优势，把空间一些难以想象的问题转化成计算问题，有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题.2. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（I）先证明平面,结合平面,可得平面平面（II）建立空间坐标系,分别求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用求二面角.由已知,所以平面又平面平面,故,由,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值为考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.3. 【2014天津，理17】如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点 （）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值【答案】（）详见试题分析；（）直线与平面所成角的正弦值为；（）【解析】试题解析：（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，由为棱的中点，得（）向量，故 （）向量，设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量于是有，直线与平面所成角的正弦值为（方法二）（）如图，取中点，连结，由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，底面，故，而，从而平面，平面，于是，又，（）连结，由（）有平面，得，而，故又，为的中点，故，可得，平面，故平面平面直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角依题意，有，而为中点，可得，进而故在直角三角形中，因此，直线与平面所成角的正弦值为（）如图，在中，过点作交于点底面，故底面，从而又，得平面，因此在底面内，可得，从而在平面内，作交于点，于是由于，故，四点共面由， ，得平面，故，为二面角的平面角在中，由余弦定理可得，二面角的斜率值为考点：1空间两条直线的位置关系、直线与平面位置关系；2二面角、直线与平面所成角的计算【名师点睛】本题考查线线垂直的证明和二面角及线面角等有关知识重点考查学生的空间想象能力和计算能力，特别是利用空间向量解决立体几何问题.首先利用向量的数量积为零是证明线线垂直最为简洁的好办法，其二由于本题容易建立空间直角坐标系，所以利用法向量求二面角和线面角是首选的方法，本题也可采用传统方法去解。立体几何问题是高考必考问题，也是考生容易得分问题，备考时应高度重视.4. 【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）证，再证，最后证；（）用向量法求解.试题解析：（I）由已知得，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性质线面垂直的性质，常用来证明线线垂直求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角5. 【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）如图，正方体的边长为2，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）利用正方形的性质，证明，利用线面平行的判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理证明；（2）由条件底面，证明，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直线与平面所成的角，再设点，因为点在棱上，所以可设，利用向量的坐标运算，求的值，最后用空间中两点间的距离公式求.试题解析：（1）在正方形中，因为是的中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以.设点，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为向量是平面的法向量，所以，即，解得，所以点的坐标为，所以.考点：空间中线线、线面、面面的平行于垂直，用向量法求线面角，即空间距离.【名师点睛】本题考查线线、线面平行及求线、面角的相关知识及运算，本题属于中档题，熟练利用有关平行的判定定理和性质定理进行面面平行、线面平行、线线平行之间的转化与证明，另外利用空间向量解题时，要建立适当的直角坐标系，准确写出空间点的坐标，利用法向量求线、面角.6. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值
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