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5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念核心知识目标核心素养目标1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义.意角的三角函数定义.1.通过对正弦函数、余弦函数、正切函2.能利用三角函数的定义,数定义的理解与运用，重点发展学生的判断正弦、余弦、正切函数数学抽象和直观想象的核心素养.值在各象限内的符号.2.通过三角函数值在各象限内的符号3.通过任意角的三角函数的和公式一的应用，进一步增强学生的数定义理解终边相同角的同一定义理解终边相同角的同一学运算和逻辑推理的核心素养.三角函数值相等.情境导入在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数，如图所示.斜边对边邻边.对边邻边,对边ZE义smQ,cosa,tana.斜边斜边邻边探究:该定义中的三个三角函数，对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变，其三角函数值是否也改变呢?提示:不变.当cos00且tan。0时，。是第二象限角，故cos9与tan0同号时，。是第一或第二象限角.若cos。与sin。异号,则cos。0且sin。或cos。0且sin。0.当cos。0且sin。0时，。是第四象限角；当cos。0且sin。0时，。是第二象限角.故cos。与sin。异号时，。是第二或第四象限角.寸方法总结确定角所在的象限,应分别根据三角函数值的符号确定所在象限后取交集.3Q探究点三诱导公式一的应用例4求下列各式的值.(1)cos+tan();34(2)sin810+tan1125+cos420.解：原式二cos(8n+?)+tan(-4兀+：)=cos-+tan-=-+1=-.3422(2)原式=sin(2X360+90)+tan(3X360+45)+cos(360+60)=sin90+tan45+cos60=1+1+址.22即时训练4-1:求值.(1) tan405-sin450+cos750sin*s(-誓)+tan(-号)cos号解：（1）原式二tan(360+45)-sin(360+90)+cos(2X360+30)=tan45-sin90+cos30(2)原式=sin(2(2)原式=sin(2+：)cos(4nTC71,J71=sin-cos-+tan-cos364寸方法总结诱导公式（一）的实质是:终边相同的角，其同名三角函数的值相豆画为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这匝丽三角函数值相等.其作用是可以把任意角转化为0360之间的斌备用例题例1若0且cosatana0,则角a的终边在（）tana（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：由题，严0,tana则a的终边落在第一象限或第四象限；又cosatana0,则a为第一象限角,r=2a,所以sina二祟二g2a2a1工V3a/7Tcosa=二一，tana=V3.2a2a若a0,则a为第三象限角，r。2a,所以sina=二一，cosa=2a22a2tana=V3.a例3判断下列各式的符号.(1)sin105cos230;(2)sin-ntan-n;88(3)cos6tan6;(4)sin4tan(-n).4解:(1)105,230分别为第二、第三象限角,所以sin1050,cos2300,所以sin105cos2300,tan-兀0,887 7所以sin-ntan-n0.8 8(3)因为芝兀62n,0,tan60,所以cos6tan60.因为互4-Ji,2所以sin40,4所以sin4tan(-n)0.4例4计算下列各式的值：(1) sin(-l395)cos1110+cos(T020)sin750;sin(-土马+cos-tan4兀.65解：(1)原式+60)s二sin(-4X360+45)cos(3X360+30)+cos(-3X360in(2X360+30)=sin45cos30+cos60sin30(2)原式二sin(-2n+?)+cos(2兀+?)tan(4n+0)二sin?+cos?X(4.旦xdx2221011+V6-=+-=2444课堂达标1.（多选题）若角a的终边经过点P（-l,-1）,则下列各式正确的是(AD)(A)tana二1(B)sina=-1(C)cosa=(D)sina=-22解析：由点P(-l,-1)的坐标计算可得r=J(-1)2+(-1)?二VX则sina=-=-,cosa=-=-,tana=1,故选AD.V222212.已知点P(tana,sina)在第三象限，则角a的终边在(D)(A)第一象限(B)第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：由点P（tana,sina）在第三象限，可得了tsina0,cosa0,tan0,cosa0,tana0;当a在第三象限时，sina0,cosa0;当a在第四象限时，sina0,tana0得角a的终边在第一或第二象限；由cosa二-m。得角q的终边在第二或第三象限.综上，角a所在的象限是第二象限.故选B.c,/47n19nsm）二,COS=63解析：sin（-学）二sin（-8兀+：）二sin:二1971（c,7l711cos=cos（6兀+一）=cos一二一.3 332答案球722已知角a的终边过点P（5,a）,且tan。二-则&=，sina+cosa的值为解析:根据三角函数的定义,tana55所以a=-12.所以P(5,-12),r二13,所以sina=-i|,JLO5cosa=,13_7从而sina+cosa=-.13答案：-12-日途课堂探究素养培育三Q探究点一三角函数的定义及应用例1设索0,角a的终边与单位圆的交点为P（-3a,4a）,求sina+2cosa的值.解：因为点P在单位圆上，则|OP|=1,即J(-3a)BpJ(-3a)24-(4a)2=l,解得a=|.当定T时,p点的坐标为G，-9，所以sinacosa即J(-3a)BpJ(-3a)24-(4a)2=l,解得a=|.当定T时,p点的坐标为G，-9，所以sinacosa55所以sina+2cosa=-+2X555当时,P点的坐标为(-|,|),3所以sina=-,cosa=-，所以sina+2cosa=-2X55变式训练1-2若将本例条件改为“角a的终边过点P(-3a,4a)(a尹0)”，其结果又如何？解:r=J(-3a)2+(4a)之二51a.若a0,则r=5a,口.y4a4%3a3H.sina=-=-,cosa=-=r5a5r5a5+(4a)2=1,解得a=|.因为a0,所以a=-|,所以P点的坐标为G)，JJ所以sinacosa55所以sina+2cosa-+2X-=.555变式训练1-1若将本例中“成0”删掉,其他条件不变，结果又是什么？解:因为点P在单位圆上，则|0P|二1,所以sina+2cosa二-2X-=-.555若a0),则sina=-,cosa=-,tana二匕已知a的终边求a的三角函数值时，用这TXX几个公式更方便.(1) 当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字每武负的辨别,若正、负未定，则需分类讨论.耳探究点二三角函数值的符号探究角度1根据确定的角确定其函数值符号例2确定下列各值的符号.(1)cos260;(2)sin(-);tan(-67220);(4)tan.3解:因为260是第三象限角,所以cos2600.由丹二*2兀，可知半是第三象限角，所以tan0.3即时训练2-1:判断下列各式的符号.(1) tan191-cos191;(2)sin2cos3tan4.解:因为191。是第三象限角，所以tan1910,cos1910.(2) 因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，所以sin20,cos30,所以sin2cos3tan40,或cos。0.因为cose0,所以e是第一或第四象限角或终边在X轴的正半轴上的角.因为tan。0,所以。是第二或第四象限角.所以满足的角9是第四象限角.同理可判断满足詈%；*的角o是第三象限角.所以满足cos。与tan。异号的角。是第三或第四象限角.因为cos。与sin。同号，所以rxacsH若sin。0且cos00,则。是第一象限角.若sin。0且cos00或cos90且tan。0时，9是第一象限角；
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