高考冲刺 转化与化归的思想.docx

高考冲刺转化与化归的思想编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程， 选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的问题)，通 过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧 知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际I可题向数学问题转化等等. 各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.高考对本讲的考查为：(1) 常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。(2) 数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。(3) 数学各分支的转化：函数与立体儿何、向量与解析儿何等的转化。(4) 出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。【知识升华】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进 而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化 为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为己解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地 改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1. 转化与化归应遵循的原则(1) 熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.(2) 简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的， 或获得某种解题的启示和依据.(3) 和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式, 或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4) 直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.(5) 正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获解.2. 转化与化归的基本类型(1) 正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.(2) 常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量(或参数)当“主元”，其他的变量 看作常量.由二次函数r(x)在-1, 1的图形易知:f(i)w o且 f (-DWO,3解得：P-或P3.23.满足已知条件的P的取值范围为(-己,3).2【变式 3】己知三条抛物线：y = x2 +4ax-4a + 3f y = x2 +(a-)x + a2, y =中至少有一条与x轴相交，求实a的取值范围.【答案】a-.2类型五、换元转化问题【例8】已知aER,求函数y = (a-sinx)(a-cosx)的最小值.【思路点拨】y = (a- sin x)(q - cos x) = a2 - tz(sin x + cos x) + sin jvcos x ,而 sin x + cosx 与sinxcos工有联系，可设1 = sinx + cosx，则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题.【解析】设z = sinx + cosx,贝it = /2sin(x + ), t g -/2,/2,41 , 1 ,而 sin xcos x = (sin x + cos x) 一 1=(广一 1),2 2于是 y =fit)=6?。心+cosx)+s i iircosx=2 (/21)= r22221 八 1,12 22原问题转化为求二次函数M=-Ua)2+-a2-在公皿上的最值问题.222(1) 当一 4iw(iW& t=u 时，e101OminCl 一；22(2) 当时，f(t)在JL上单调递减，f(t)min = f(/2 )=a2 /2 a+ ；2(3) 当a1 ) = a2+/2 a+ 2【总结升华】代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的问题得以简化, 从而获得解答.一般地，当条件能转化成如下形式时，就可以考虑三角代换：若 a2+b2= 1,可设 a=cosa, b=sina；(2) 若 a2+b2 可设 a=rcosa, b=rsina(Orl)：(3) 对于 Jl x2 , V |x|l 由|cos6|l 或|sin阳 1 知，可设 x=cosO x=sin9.举一反三：X1【变式】函数f(x)=-41og2-.|og24xlog24x在区间-,4上的最大值等于()88A. -24B. 16C. 25D. 24【答案】故选C.【解析】设logu=f,则低一3,2,故函数7U)可转化为y=g(r)= 4(，一3)“+2)=4F+4f+24= 4(/ )2+252因为/G-3,2J,所以当/=；时，函数g。)取得最大值为25.故选C.【例9】求函数/*(*) = 2-4。sin工一cos2工的最大值.【思路点拨】令t=sin x,将函数转化为关于I的二次函数，再求二次函数在区间一1, 1上的最大值.【解析】/(x) = 2-4wsinx-(l-2sin2x)= 2sin x4osinx + l=2(sinx-)2 +1-2q2.设 sin x=t,则一IWtWl,令 y = g( = 2(/- a)2 +1 - 2a2.如图所示，当a0时，有= g(l)= 3-4.同理，当 aNO 时，有)，max =g(-l) = 3 + 4.所以，当aVO时函数(3)的最大值为3-4a.当aO时函数/(x)的最大值为3+4a.【总结升华】通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意： 换元后所得t的函数的定义域为一1, 1；应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间一1, I的位置，才能确定其最值.举一反三：【变式1】已知x2+y2=h则z=x-2y的取值范围是.【解析】令 x=cos 0 , y=sin 0 ,则 z = cos。一2sinO = Vcos(6 + ), Zmax =逐，Zmin =-/. 5 z 5/5【变式2】已知aER,求函数y= (asin x) (acos x)的最小值.【解析】设 t=sin x+cos x,贝iJr = V2sin(x+-),故rG-V2,V2.4.121 2而 sin x - cos x =(sin x+cos x) 一 1 = (广- I),22于是，y = /(0 = a2 -(sin x + cosx) + sin xcosx=a2 -at + -r -) = -r-cither-2221,2 1 2 1= -(t-a) +-a .222原问题化归为求二次函数f(t) = -(t-a)2+-a2-在公J3上的最值问题.222 当-41 yf2 时，f(。在-72,72上单调递减，f(t)m.n=f(42) = a2-42a + 当a/2a + .【变式 3】已知/(x) = lg(x + l), g(x) = 21g(2x+r) , twR.(1) 当t=1时，解不等式f(x) g(x) i(2) 如果xG0, 1时，/(x)-(2) tmi4类型六、命题的转化【例10】关于x的方程x3-3x2-a=0只有一个实数根，求a的取值范围.【思路点拨】本题是一个高次方程的问题，无法用判别式去判定根的个数，故可以转化命题，转化为 曲线y=x33x2与直线y=a有一个交点，求实数a的取值范围.【解析】由 X13x2a=0 得 a=x33x,令 fM = x3 - 3x2， f 3 = 3x2 - 6x = 3x(x - 2),令 f (-o；当(0, 2)时，尸vO；当 xG (2, +8)时，广(x)0.所以/(x)在(一8, 0)和(2, +8)上是增函数，在(0, 2)上为减函数.又/(0) = 0, /= -4.结合图象，直线y=a与曲线y=xa-3x2有一个公共点时，则a0.所以关于x的方程x3-3x2-a=0只有一个实数根时，实数a的取值范围为a0.【总结升华】在解题的过程中，直接考虑思维受阻时，要学会变换解决问题的角度，转化命题的形式, 使问题变得直观、简洁，进而使问题得以解决，有些问题可以考虑其反面，通过解决反面使问题得以解决, 有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁.这就是转化与化归思想的真谛.举一反三:【变式】设0 0 + -) = /n有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个 3实根的和.JTT【解析】将原方程2sin(Q + ：) = m转化为三角函数y = 2sin(x+y)的图象与直线y = m有两个不同 的交点时，求a的范围及a+B的值.jr如图，在同一坐标系中，作出y = 2sin(x+y)及y=m的图象，由图可知：当一2也占或后 m + -) = m有两个不同实根.3若y/3m2,设原方程的一个根为西=生+。,67T则另一个根为X)=a.-6勿.x, + x2 =.若-2731.(1) 讨论7U)的单调性；(2) 若当时，yu)o恒成立， 【思路点拨】求f(x)=0的根，立转化为f(x)的最小值大于0.【解析】(l)f(x)=x22(l+a)x+4a求“的取值范围.比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)。恒成=(x2)(x 2a).由已知al, .2a2,.令 f(x)0,解得 x2a 或 xV2,.当 xE(-oo, 2)和 xE(2a, +oo)时，f(x)单调递增，当xE(2,2a)时，f(x)单调递减.综上，当al时，f(x)在区间(-00, 2)和(2a, +勿)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数.(2)由知，当时，Re)在x=2a或1=0处取得最小值.f(2a)= ； (2。)3(1 +。)(2。)2+4白 2。+24。44+4/+24。= a(a6)(+3),33人0)=24“.由题设知。 1,/(2。) 0,即 ,/(0) 0,a 1,4+ 3)(。- 6) 0,24。 0,解得a0I - 21og6x0=x0x 01 nx6=V60 x0,则六）在（妊,+8）上是单调递增，在（0,733）nn是递减的，因为nCN.,所以当n=5或6时/（）有最小值。又因为 = , =,所以，务的最小值为虫=殳55662n62.【总结升华】数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义 在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列at!的通项公式 = % 4-（/7一项=血+ 0-,前n项的和公式缶=凹+= I +（% .当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应 用函数思想解题的意识。类型二、常量与变量的转化问题例3 （2016 江苏模拟改编）若己知不等式2x- lm （x2- 1）对满足m|W2的一切实数m的取值都成立, 则x的取值范围为.【思路点拨】构造变量m的函数，对x2- 10, x2- KO, x2- 1=0,进行分类讨论，利用|m|W2时函数的 取值，分别求出x的范围，然后求并集即可.【答案】（B,也）22【解析】构造变量m的函数求解：2x - lm （x2 - 1） BP： （x2 - 1） m - （2x - 1） 0 时，则 f (2) 0 从而 2x2-2x- l0,即xl,所以1xV上史；2(2) 当 x? - IVO 时，则 f ( -2) VO 可得-2x2-2x+30解得xV二1 顼或x吏 I】又-IVxVl,从而吏lvxl222(3) 当 x2- 1=0 时，则 f (m) =1 -2xl,故 x=l；2综上有：BvxV域22故答案为(宣二1,寸也)22【总结升华】对于含参数的不等式问题，有的时候转变思路化“参变量”为“自变量”，往往会收到“柳 暗花明又一村”的效果.举一反三：【变式1】己知a0且aHl,若关于x的方程log,.(x-3)-logA(x+2)-log,.(x-l)=l有实根，求实数a的取值范围.工一30【解析】要使原方程有意义，需 0,解得x3.x-l0原方程化为：log,(x 3) = log”。(工IX* + 2)./.x-3=a(x-l) (x+2)在区间(3, +8)上有解，. x 3 (1 .(x-1)(A- +2)问题转化为求右端在(3, +8)上的值域，即将a看作x的函数a(x).-a-l)(x + 2) x2+x-2x-3 1=”一3)2+7(工一3) + 10 =工 3 1 17x-3Vx3, Ax-30,A X-3 + -15- 2J(x-3)=2V10 . x-3 V x-3当且仅当x-3 = ,即工=3 + 应时取等号.x-33 时，a0,故a的取值范围是(o,7_2面【变式2】(2016河南模拟)若对任意的xe (-od,-1,不等式(3m-l)2x 1恒成立，则正实数m的取值范围是.【答案】(0,1)【解析】令 2、=/,X(F, 1)0,- 2/原不等式可转化为(3/n-l)r 1即0 即时，/(r) =(3/n-l)/-l,/e 0,| 单增/1 11只需f 一 =(3,w-l)一10即可，解得秫1即：-m 2 /231( 1 当3-1 v()即0mv/im(0)= -l0/.0w| 符合题意综上所述m的取值范围是0 v s v 1.类型三、等价转化【例4】已知函数/=件仑的值域为1, 4,求实数a、b的值.JT+ 1【思路点拨】设y = /(x),将所给函数看作关于x的方程.则由题意可知当y-l, 4时，关于x的方程有实数解.【解析】5普的定义域为R,故可等价转化为yxax+yb=0.令 =a一4y (y b) X),即 4y24bya20,则由题意可知，不等式4y2-4by-a20的解集为1, 4.也就是一1, 4是关于y的方程4y4by二0的两根.一 1 + 4 = /?, /. a= 4, b=3.-1x4 = - 4所以所求实数a=4, b=3.【总结升华】本题是利用函数、不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转 化类型有高次向低次的转化，多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的 转化等.举一反三：【变式1】己知奇函数/(同在定义域(一1, 1)上是减函数，且/(1 +。) + /(1-疽)o,求实数。 的取值范围.【答案】(-1,0)【变式2】若f(x) = ax + 3-a的图象在(0,1)内与x轴恰好有一个交点，则a的取值范围为【解析】/(工)的图象是直线，在(0, 1)内与x轴恰有一个交点，则 /(0)-/ 3 (当a=0时不合题意).【例5】(1)不等式土二0的解集为()2x + A.-?1B.C.D. -oo, ul,+a）对【思路点拨】将不等式进行等价变形，转化为整式不等式求解。【答案】A；【解析】原不等式等价于(x-l)(2x+l) ()或x-l=0,即一 Lvxl或x = l,所以不等式的解为2-xl ,选 A.2(2)设集合A = (x,y)|(x-2)2 + y2 m2tx,yeR,2B = (x, y) | 2m x+ y 2rn + l,x, y e R,若 AcB 比 0,则实数 m 的取值范围是；【解析】当/n()时，集合A是以(2, 0)为圆心，以|州为半径的圆，集合B是在两条平行线之间;因为m*,此时无解;当。时,集合a是以e0)为圆心，以集合B是在两条平行线之间，必有_ mf2 + i.又因为 /2, . / V2 +1 o222【总结升华】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变最转化为最值的方 法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函 数的性质，从而达到解题目的。举一反三：【变式】巳知函数f(x) = ax2-c,满足-4/(l)-l, -1/(2) .2m g U3方程x2-4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是4/ 0,可得m.22m + 6 03AAA RJ 0时，实数ni的取值范围为 | m -；2AAR 时，实数m的取值范围为m|inW 1.【总结升华】正面难以解决的问题，可采用补集的思想，转化为反面问题来解决.一个题目若出现多 种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反而考虑，比如题目中出现“至多”，“至少”等字眼时.举一反三：【变式】试求常数m的范围，使曲线y=x?的所有弦都不能被直线y-m(x-3)垂直平分.【解析】问题可以转化为：为使曲线y=x，有两个对称于直线y=m(x-3)的点，求m的取值范围. 易得m-.22【例7】等比数列%中，,%,为分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I )求数列%的通项公式；(II)若数列也,满足：=%+(l)lns 求数列但的前2项和【解析】(I )当 =3时，不合题意；当 =2时，当且仅当=6,% = 18时，符合题意；当4=10 时，不合题意。由题意知 =2,q=6,%=18，因为%是等比数列，所以公比为3,所以数列%的通项公式 为二2(II)因 jbn = an 4- (1) In = 2 3n l + (1) In 2 , 3W 1,所以 Sn =bx + Z?2 + + =(/ + 角 + . + q,) - (In / + In % + .hi an)=2(1-3)1-3-Inaa2an=3” 一 1 -ln(2” 1 x3 x3? x.x3“)=以(一 1)3-l-ln(2.3亍),所以 S2n = 32n -1 - ln(22H - 3 2 )=9W -1 - 2n In 2 - (2n2 - n) In 3o【总结升华】一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结 论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反。“正难则 反，是一种重:要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。举一反三：【变式】己知二次函数f (x) =4x-2(p-2)x-2p2-p+l,若区间T, 1内至少存在一个实数c,使f (c)0,则实数P的取值范围是().1 13A、(-=,1) B、(-3,-待)C、(-3,二)2 22【解析】问题转化为先求在T, 1内没有一个实数C使f(c)0,即对任意xG-l,l, f(x)W0的P的取值范围.