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精品学习资料整理精品学习资料整理精品学习资料整理3.5.2简单线性规划(二)自主学习 知识梳理1用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)2在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小3线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来 自主探究结合下面的具体问题想一想，在什么情况下，目标函数的最优解可能有无数多个？在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为()A3 B3 C1 D1对点讲练知识点一实际应用中的最优解问题例1某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？总结利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证变式训练1某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品_吨，乙产品_吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大知识点二实际应用中的最优整数解问题例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规模类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？总结在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析变式训练2某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z10x10y的最大值是_1解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范2当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数)，则它不是最优整数解，此时必须在可行域内该点的附近调整为整点常用调整方法有：(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解. 课时作业一、选择题1若实数x，y满足则zx2y的最小值是()A0 B.C1 D22.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数zaxy (a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A. B.C4 D.3某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()A36万元 B31.2万元C30.4万元 D24万元4如图所示，目标函数zkxy的可行域为四边形OABC，仅点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题5某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为_元6已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数zxmy取得最小值，则m_.三、解答题7某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？8某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用一张A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用一张B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？35.2简单线性规划(二)自主探究A，a3.结论：当目标函数对应的直线经过可行域的一条边界时，最优解可能有无数多个对点讲练例1解由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个)0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则x300.所以当x300时，zmax8030024 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则y450.所以当y450时，zmax12045054 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则z80x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线l：80x120y0，即直线l：2x3y0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z80x120y取得最大值由解得点M的坐标为(100,400)所以当x100，y400时，zmax8010012040056 000(元)因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大变式训练12024解析设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意约束条件为：目标函数为S7x12y从图中可以看出，当直线S7x12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值解方程组得A(20,24)，故当x20，y24时，Smax7201224428(万元)例2解设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张.作出可行域(如图)：(阴影部分)目标函数为zxy作出一组平行直线xyt，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x3y27和直线2xy15的交点A，直线方程为xy.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张两种方法都最少要截两种钢板共12张变式训练290解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，yN*，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x5，y4时，z取得最大值为90.课时作业1A2B由yaxz知当akAC时，最优解有无穷多个kAC，a.3B设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则z0.4x0.6y.由图象知，目标函数z0.4x0.6y在A点取得最大值ymax0.4240.63631.2(万元)4Cykxz.若k0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意k0，只有点(3,2)是目标函数的最优解kABkkBC，即2k0，则z的最小值对应截距的最小值，可知m1，满足题意；若m0，当x4，y6时，z取得最大值答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大8解设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为目标函数z2x3y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图所示z2x3y变为yx，得斜率为，在y轴上的截距为.当直线z2x3y过可行域上的点M时，截距最小，z最小解方程组得M点的坐标为(5,5)此时zmin253525(m2)因此，两种金属板各取5张时，用料面积最省最新精品资料
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