倍数因数 课例研究

把握数学概念本质，设计有价值的数学活动 基于倍数与因数的课例研究 小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要，但是“越是简单的，往往越是本质的”，所以对于小学阶段的基本数学概念内涵的理解，是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实的载体。就要求我们必须在数学课堂上设计有价值的数学活动来凸显数学概念的本质，以促动数学概念的建构。一、 研究背景北京教育学院刘加霞教授提出：“为什么数学中火热的发明会变成现实中冰冷的美丽，教材是教学法的颠倒教师与学生都在形式上的理解，造成当前数学教学的难堪境地。”教材所表现的是形式化的、冰冷的结果，教学如果从这些“冰冷”的形式开始，学生就不可能经历“火热”的数学思考过程。实际数学教学时，如果从“形式”开始，学生就容易出现“形式”上的理解。为了避免“形式”上的教，张奠宙先生指出：“一线教师需要将“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”。”为此我们需要注重学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，自然地实现由“生活概念向科学概念的运动（杜威）”。数学教师课堂教学的核心应该是对数学学科知识本质的把握，特别是对数学概念本质的认知和把握。注重数学概念、知识发展的历史本源，注重其形成、发展的原始动力与过程；注重现实问题向数学问题的转化过程，真正让学生经历“建模”的过程，体验到数学之于解决实际问题的重要意义；更需要注重学生的朴素问题与思维过程，真正激发学生探究的愿望，发展理智的好奇。二、 研究的问题（一） 挖掘倍数与因数的知识本质倍数与因数是小学数学中关于两个数关系的一节起始概念课，“倍数和因数”的教材编排跟老教材相比有着很多不同之处，最大的不同在于老教材是先让学生理解整除，然后在整除的基础上引出倍数和因数的定义。概念的揭示从抽象到抽象，没有学生经历的过程，也无学生借助原有经验的自主建构。西师版新教材首先介绍了自然数，为因数的数域做准备，然后是从韩信点兵的情境图引入的，让学生根据情境写出不同的算式，从而导出倍数和因数的概念。，从算式中去理解倍数与因数的概念。能够说这其实就是一种形式上的表现，需要我们做教育性的处理。作为一节起始概念课，我们有理由对倍数与因数的概念实行深入的挖掘，协助学生去理解概念的本质，更好的建立起基本概念。通过查阅文献我们发现对于因数与倍数是描述的数与数之间的关系。初等数论（潘承洞、潘承彪著）以及什么是数学（柯朗等著）里对因数和倍数是这样解释的：有两个非零自然数a、b，如果存有一个qz,使得b=qa,则b是a倍数，a是b的因数。这句话翻译成儿童能听懂的语言，就是说，如果b里面刚好能分成几个a,则a就是b的因数，b就是a的倍数。能够把理解因数与倍数的关系，结合前面学习的平均分能整除来理解。这样定义的：“整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的因数或素数。”。素数和因数的区别有三点：1.数域不同。素数只能是自然数，而因数能够是任何数。2.关系不同。素数是对两个自然数的整除关系来说，只要两个数是自然数，就能确定它们之间是否存有素数关系，如：405=8，40能被5整除，5就是40的素数，1210=1.2，12不能被10整除，10不是12的素数。因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系来说的。如：80.2=1.6，8和0.2都是积1.6的因数，离开乘积算式就没有因数了。3.大小关系不同。当数a是数b的素数时，a不能大于b，当a是b的因数时，a能够大于b，也能够小于b。例如，5是60的素数，54.8基于以上的思考，我把教学目标设定为1通过动手操作写出不同的乘除法算式，理解倍数和因数，初步理解倍数和因数相互依存的关系。2使学生在理解倍数和因数以及探索一个数的因数的过程中，进一步体会数学知识之间的内在联系，并总结找一个数的因数的方法，从而提升数学思考的水平。3培养学生的合作意识、探索意识，以及热爱数学学习的情感。（二） 设计有价值的数学学习活动整个课堂的推动主要是依靠有价值的数学学习活动来展开的，考量教学活动的设计价值也是本课例着重要研究的内容和方向。所有的活动的目的都是围绕着，教学目标的实现而非其它，有了目标就有了活动的方向，活动才能在有序的组织中推动学生概念的建构。本课设计中的活动主要有两个活动一：用12 个小正方形，拼摆一个长方形，每次必须全部用完，并用算式把你的拼摆过程表示出来。活动的目的：旨在把学生调动起来，感受整除，初步的感知倍数与因数，都是以整除为前提。拼摆的过程就是理解倍数与因数的过程。这是本课例重点研究的一个课堂主要活动，也是本节课知识的核心本质所在。活动二：找寻36的所有因数活动的目的：让学生在寻找一个数所有因数的过程中，去观察因数的特征，从而总结出，寻找一个数所有因数的方法，进一步体会数学知识之间的内在联系，提高数学思考的水平。三、研究的方法 三课两反思的课例研究模式四、研究的过程：（一） “为什么教学要超时?”1、课堂片段节录：教师引入新课后：师：课件出示：12个正方形，请把它们拼成一个长方形，把你的拼法在方格纸上框画出来，再试着用算式表示出来，写在草稿本上。给你一分钟看谁的方法多，开始。生：学生独立完成，后汇报。师：（1）你是怎样画的（框画了几排，每排有几个），算式是怎样列的？（2）学生展示汇报。师：老师把你们的画法整理了一下，请你观察：出示课件 34=12 62=12 121=1243=12 26=12 112=12师：指算式，观察这些算式，它们有什么共同点？从上面的算式中，我们发现，这些算式中的两个数相乘都得12，像这样两个数相乘等于12的数，和12 之间有着某种关系，你们想知道吗？师：介绍因数与倍数（课件出示：3是12的因数，12是3的倍数；4是12的因数，12是4的倍数。）请生读一遍。这句话中有两个关键词，请你把它重读师：这里出现了两个重要的词“因数与倍数”，这就是今天我们要一起来学习的新课（板书课题:倍数与因数）师：你能像老师一样也用因数与倍数来描述一下余下的两组算式吗？生：两人一组，说一说。师：通过刚才的描述，我们发现12都有哪些因数呢？（板书：12:1、2、3、4、6、12 ）师：满足什么条件就是12的因数呢？生：每两个数相乘的积都是12，我们说这些数都是12的因数师：两个数相乘等于12的算式还有没有，你能举例说说吗？生：2.45=12师： 2.45=12，这里的2.4是不是12的因数为什么？生1：不是生2：是，因为这两个数相乘也等于12.师：不是，因为我们所说的因数与倍数都是在自然数范围内，不包括小数、分数师：0可以做12的因数吗？为什么？生：0乘任何数都不能得到12师：所以在自然数范围内的因数要除0以外即非0自然数。师：听了你们刚才的描述，有一个同学也觉得自己收获很大，她也要来描述一下这一组算式. 34=12中， 3是因数，12是倍数，你觉得这个同学说得对吗？为什么？生1：我觉得好像对好像又不对生2：对的师：倍数和因数是描述的两个的数的关系，不能只说一个，要说成：“34=12中， 3是12的因数，12是3的倍数。”2、课后问题聚焦（1）学生活动耗时过长，整个课堂节奏缓慢教师在设计活动时的初衷，是希望学生能在头脑中建构起12个小正方形，拼成长方形的画面，再描画出来，并以形为支撑，列出算式，初步感受倍数因数与整除的联系。但在实际的操作中，学生用于画长方形的时间太长，让学生在画的过程中耽误了太多的时间浪费了精力，没有很好的去思考三种摆法的共同点，以及列出的算式的相同之处。（2）对于数学本质的追问不够，逻辑不太合理 教师在活动后，对于倍数与因数的概念，是直接告知的，本来这种告知是可以的，但是缺乏对知识的本质的追问。例如：在介绍了倍数与因数概念后，教师让学生仿照老师的样子说一说另外两种摆法的两个数与12的关系。这种学习纯粹是模仿学习，只能学其形，而不能学其神。作为倍数与因数的意义，与整除是有着密切联系的，所以，教师在算式的呈现中，只呈现乘法算式，对于帮助学生更深入的理解概念，是比较不具有说服力的。3、改进建议：(1)活动形式：建议把原来的由学生想画，改成学生在1012的方格纸上用斜线涂画，这样即可以比较准确的表达学生的思维，又比较节约时间。而且在课堂展示中看上去也比较规范美观，便于其它同学观察、发现，能提高课堂的效率。（2）活动过程： 建议给学生一个固定的时间，在呈现反馈学生的作品可以事前收集，集中突破一个，后面进行类推。课堂教学中采用一分钟竞赛的形式，即有效的把控时间，又可以训练学生集中注意力完成学习任务，提高课堂教学的高效性。（3）活动追问： 活动最后的追问：“34=12中， 3是因数，12是倍数，你觉得这个同学说得对吗？为什么？”容易把学生带入到误区，由于倍数因数的本质问题，没有在课中得到很好的解释，所以这里可以不提这个问题，而是把这个问题放在整个这节课的最后，最好能让学生通过这节课的学习，能自己提出来，这样老师就可以更好的加以引导解释，在这里出现不是特别的恰当。这一次的小组研讨，更多的是集中在课堂中的形式修正和问题设置，这样的研讨可以让课堂有更紧凑的呈现，但是本质的核心问题不清晰是不是有了完美形式的掩饰就可以了呢 ？（二） “因为2.4不是自然数，所以不是12的因数？”1、 课堂片段节录：师：12个正方形，请把它们拼成一个长方形，把你的拼法在方格纸上用斜线涂画出来，再试着用算式表示出来，写在草稿本上。给你一分钟看谁的方法多，开始。生：独立完成，后汇报。（1）你是怎样画的（画了几排，每排有几个），算式是怎样列的？（2）学生展示汇报。师：把你们的画方法整理了一下，请你观察：出示课件 34=12 62=12 121=1243=12 26=12 112=12师：指算式：观察这些算式，它们有什么共同点？生：从上面的算式中，我们发现，这些算式中的两个数相乘都得12，像这样两个数相乘等于12的数，和12 之间有着某种关系，你们想知道吗？师：介绍因数与倍数并板书（课件出示：3是12的因数，12是3的倍数；4是12的因数，12是4的倍数。请生读一遍。这句话中有两个关键词，请你把它重读师：这里出现了两个重要的词“因数与倍数”，这就是今天我们要一起来学习的新课（板书课题:倍数与因数）师：你能像老师一样也用因数与倍数来描述一下余下的两组算式吗？生：两人一组，说一说。师：通过刚才的描述，我们发现12都有哪些因数呢？板书：12的因数:1、2、3、4、6、12 师：满足什么条件就是12的因数呢？( )( )=12师：那125=2.4，那2.4是不是12的因数呢？生：不是，因数应该是自然数。师：0可以做12的因数吗？为什么？生：0乘任何数都不能得到12，所以在自然数范围内的因数要除0以外即非0自然数2、课堂问题聚焦这一次的问题聚焦，较上一次有了很大的进展，问题直指倍数与因数的数学本质，在激烈的交流中，我们更清晰的看到了我们想要的数学的课堂呈现。课堂中我们设计了（ ）（ ）=12，让学生思考，满足什么样的条件才是12的因数，并出现了2.45=12，那2.4是不是12的因数呢？这个问题让学生思考，最后老师给出的理由是因为因为2.4不是自然数，所以不是12的因数？很显然判断是否是12的因数的条件并不是数域的划分，而应该思考，因数定义的本身，来解答这个问题。建立倍数与因数的概念，一定要建立在整除的基础上，虽然教材中不再提整除，但是学生的意识里是有这个概念的，我们在建构倍数因数概念时，就应该加以利用。所以在课堂从具体的拼摆到算式的生成这一过程中，应该出现除法算式，这样就能比较好的让学生去感知倍数与因数的本质是：“除法里，如果被除数除以除数，所得的商都是自然数而没有余数，就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（约数）。”也只有在以除法算式为依托的素材中，才能剔除因数概念中，学生原有的因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的，这一知识的干扰。3、改进建议：（1）在拼摆后，引导学生说2个乘法算式和2个除法算式。为后来的概念建立提供更多元化的素材，有利于帮助学生更好的去理解概念的本质。（2）引导学生观察其中一种拼法的4个算式，从中找出3个数字的关系。这样可以让学生的观察更集中，问题更聚焦。（3）“满足什么条件，才能成为12的因数？”这一问题老师不仅仅要挖掘到（ ）（ ）=12，并且还要引导学生找到12（ ）=（ ）才是12的因数。也就是说，不仅仅是两个数相乘等于12，而且是12除以一个数能整除，这个数才是12的因数。这里就是用整除的定义来解释倍数与因数的课堂呈现。也是本次课对数学本质的一种教育形态的呈现。很显然这一次对问题的叩问，触摸到了本课的概念的核心，这种对于核心问题的关注，而不是回避，对于核心问题的追问而不是形式化的修正，正让我们的课堂回归本质，也正是这样的追问才成就了数学活动的价值。（三）“刚好摆完，没有剩余。”1、课堂片段节录：师：12个正方形，请把它们拼成一个长方形，把你的拼法在方格纸上用斜线涂画出来，再试着用算式表示出来，写在草稿本上。给你一分钟看谁的方法多，开始。生：独立完成，后汇报。（1）你是怎样画的（框画了几排，每排有几个），算式是怎样列的？（2）学生展示汇报。（把其中一种摆法粘贴在黑板上）师：把你们的框画方法整理了一下，请你观察：出示课件 34=12 62=12 121=1243=12 26=12 112=12124=3 126=2 1212=1123=4 122=6 121=12师：指算式：观察这些算式，它们有什么共同点？从上面的算式中，我们发现，这些算式中的都出现了3、4、12，这样看来两个数和12 之间有着某种关系，你们想知道吗？师：介绍因数与倍数并板书（板书：3是12的因数，12是3的倍数；4是12的因数，12是4的倍数。）请生读一遍。这句话中有两个关键词，请你把它重读师：这里出现了两个重要的词“因数与倍数”，这就是今天我们要一起来学习的新课（板书课题:倍数与因数）师：你能像老师一样也用因数与倍数来描述一下余下的两组算式吗？生:两人一组，说一说。师：通过刚才的描述，我们发现12都有哪些因数呢？板书：12的因数:1、2、3、4、6、12 师：满足什么条件就是12的因数呢？生：( )( )=12 师：还可以呢？生：12（ ）=（ ），师：那125=2.4，那2.4是不是12的因数呢？生：不是，必须要整除才能是12的因数。生：我认为是师：要解决这一问题，我们可以借助我们刚才所拼的小正方形来观察 如果我们按照每排5个的方式去拼，我们就会发现，12个正方形是不能拼成一个长方形的，会出现剩余。因此要成为12的因数，我们应该要以能整除为前提。如果从乘法看就是因数应该是自然数。师：0可以做12的因数吗？为什么？生：0乘任何数都不能得到12，生：0不能做除数师：所以在自然数范围内的因数要除0以外即非0自然数问题的存在1、 用摆小正方形的方式不能摆出每排5个一排，就不能排成一个长方形，所以出现了余数。2、 借助情境来理解，是可以采纳的3、 排图形与倍数因数的沟通结合还不够，4、 长宽与面积之间关系可以类推到倍数与因数的关系（小数），小正方形的总个数，与每排个数排数之间的关系（自然数），类推到倍数与因数的关系。（即数形结合）5、 三种摆法后追问，还没有别的摆法，可以让学生更充分的感受倍数与因数的个数是有限的，更体现倍数与因数是自然数。通过三次实践和三次反思，我们越来越清晰的看到了问题的本质，在对教学活动不断修正的路上，我们一直在前行。五、研究反思通过对倍数与因数一课的三次教学实践的研究，我们发现在小学数学概念教学的课堂设计中，有一些规律是需要共同遵循的，只有在遵循规律的实践中，我们的小学数学概念的本质才能在课堂中得以凸显，概念才能在学生的头脑中得以生动的建构，这样建构起来的数学概念才是真正的有形有实。（一）活动体验，形成表象“在概念教学的初始环节，教师帮助学生感知概念要采取的基本策略为：采用直观感性手段,使之对新的概念有一个厚实的感官基础。”在小学数学概念教学中，在引导学生充分感知后应及时引导学生提升思维水平，而不能一直停留在直观层面，以防止数学内涵的流失。因此，在课堂上，教师应抓住时机，努力促进学生由“形象思维”向“逻辑思维”的过渡。才能及时形成表象，凸显数学概念的本质。在本课例中教师就是采用了摆12个小正方形这样一个课堂活动，让学生从形式上感知倍数与因数的整除关系，帮助学生建立倍数与因数的数学表象。然后及时抽取出算式，为下一步研究两个数的关系，做好了思维层面的准备。由形到数，由想象到抽象，学生经历了数学概念的形成过程，更能对概念有更深入的了解。 （二）抽象概括，生成概念抽象是数学的本质属性，数学离不开抽象。在对数学概念本质的探寻过程中，最为关键的一步就是对学生的感性表象，进行数学化的抽象和概括，从而形成概念。有的老师会在学生猜测的基础上，通过验证逐步抽象出概念的本质;有的老师会运用不完全归纳法通过大量的素材罗列，让学生观察，比较，发现其中的共同特征，从而抽象出数学概念。不论采取哪种抽象概括的方式，其目的，都是要总结提炼出，事物的共同特征，并对这种特征加以强化，生成概念。（三）注重联系，强化本质 其实在小学数学中的很多概念，从本质上说彼此之间有着很密切的联系，我们可以通过对这些联系的深入挖掘，去强化概念的本质。 例如倍数和因数一课，看似是本册教材的起始课，但是这一内容的理解是可以借助学生二年级所学的除法的平均分的意义来理解的，如果，教师能很好的找到这两者之间的联系，就可以帮助学生对倍数因数的本质的理解，即：一个数能被另一个数整除就可以说这个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的因数。当然知识中的这种内在联系是需要我们去沟通的，而这种联系有时候也会对概念的形成造成负面的影响。例如在倍数与因数一课中，对于“因数”这个概念学生在学习乘法时就知道，在乘法算式中的两个乘数就叫做因数，但显然这里的“因数”和本课例中“因数”不是同一概念。而学生的这种原有认知是会对本课的概念建立带来负面影响的，所以在课例研讨的过程中，就把原来的单一的乘法算式，改成了乘除法算式都出现，让学生抽象概括出共同特征，帮助形成概念。可见，在概念教学中，注重概念的沟通联系，对于帮助学生建立概念具有很好的强化作用，同时也有可能会出现负面影响，这就需要教师对概念的本质，联系进行梳理和掌控，才能帮助学生拨云见日。（四）应用概念，提升能力记住概念的定义不等于掌握概念，只有把数学概念进行应用，才能够更好的提升学生的学习能力，体现数学课的价值性。我们经常看到这样的课堂，老师在课堂上一遍一遍的重复概念的文字描述，孩子已经能把概念的文字描述倒背如流了。可是，如果我们让孩子用自己的话来描述这个数学概念时，孩子就会觉得无从下手。这种现象其实就是概念没有内化为孩子的知识结构，这样的概念就不可能帮助学生去解决遇到的实际问题。可能一节课两节课，我们不能够明显的看到他们之间的差距，但是当孩子越来越多的需要用这个概念去解决稍复杂一些的问题时，学生的差距就会逐步得到显现。所有在课堂中设计对概念的应用也是对概念本质的进一步强化，是十分必要而有效的教学活动。参考文献：概念教学：过程与策略 把握数学本质，设计有价值的数学活动 刘加霞 小学数学概念及其教学 张泽庆数论