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5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象核心知识目标核心素养目标1.能利用三角函数的定义，画出函数y二sinx,y二cosx的图象.2.掌握“五点法”画y=sinx,y=cosx通过对正弦函数、余弦函数的的图象的步骤和方法，能利用“五点图象的学习与应用，提升直观法”作出简单的正弦、余弦曲线.想象、逻辑推理的核心素养.3.理解y=sinx与y=cosx图象之间的联系.途知识探究-素养启迪情境导入将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上,就做成了一个简易单摆，如图（1）所示.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况.图（2）就是某个简谐运动的图象.如图所示.sinx010-10-1+sinx-10-1-2-1y=sinxGOir3rtT2”01y*-/-2y=-l+inxjtGw由图象可以发现，把y=sinx,xe0,2JT的图象向下平移1个单位长度即可得y二T+sinx,xe0,2k的图象.例2利用正弦曲线，求满足|sinxWg的x的集合.解:首先作出y=sinx在0,2兀上的图象.如图所示，再作直线y=|,根据特殊角的正弦值，可知该直线与y=sinx,xG0,2n的交点横坐标为;和芝；作直线y二平,该直线与y=sinx,0,2兀的交点横坐标为?和;.观察图象可知，在0,2兀上，当或时,不等式；sinx633o2wg成立.2所以isinxW爽的解集为以愕+2knx-+2kn,或竺+2knW22633x|cosx|的x的取值范围是()(A) (片(B)(J；(罕,？)(C)9(D)(?,?)解析:因为sinx|cosx|,所以sinx0,所以xe（0,兀）,cosx|,xE(0,兀)的在同一坐标系中画出y=sinx,xe（0,兀）与y=|图象,观察图象易得（：,?）.故选A.课堂达标1. （多选题）下列对y=2cosx的图象描述正确的是（ABD）（A）在0,2兀和4兀，6兀上的图象形状相同，只是位置不同（B）介于直线y=2与直线y=-2之间（C）关于x轴对称（D）与y轴仅有一个交点解析：由y=2cosx的图象可知A,B,D项正确，y=2cosx图象的对称轴方程为x=kn,kez,故C项错误.故选ABD.2. （2020吉林实验中学高一月考）函数y=l-sinx,xe0,2ji的大致图象是（B）解析:当x=0时,y=l;当时,y=0;当x=n时,y=l;当炉普时,y=2;当x=2H时,y=l,结合正弦函数的图象可知B正确.故选B.(C)(D)函数y=sinx的图象和y二三的图象交点个数是2TT解析:在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示,由图可知交点个数是3.答案：34.不等式sinx-|,xe0,2n的解集为解析:如图所示,不等式sin探究:通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？提示:正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线.知识探究正弦函数、余弦函数的图象问题1-1在0,2II上任取一个值X。,如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinX。,并画出点T(x0,sinx0)?提示:在直角坐标系中画出以原点0为圆心的单位圆，与x轴正半轴的交点为A(l,0).在单位圆上，将点A绕着点。旋转x。弧度至点B,根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0.由此，以x为横坐标,y为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0,sinxo).问题1-2你能画出x。的值分别为0,；,：,2兀时对应的正弦函632数图象上的点吗？提示:如图，把X轴上从0到2这一段分成12等份，使X。的值分别为0,p,2Ji,它们所对应的角的终边与单位圆0的交点将圆周12632等分,再按上述画点T(x。,sinxo)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.问题1-3你能画出正弦函数在0,2兀上的图象吗?提示:将上述得到的12个点用光滑的曲线连接起来.问题1-4你如何得到正弦函数在R上的图象呢？提示:将函数y=sinx,xe0,2ji的图象不断向左、向右平移(每次移动2n个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sinx,xR的图象，如图.问题1-5以上作图方法虽然精确，但是太麻烦，你如何快捷的画出正弦函数y=sinx,xe0,2n的图象?对余弦函数而言呢?提示:五点作图法:y=sinx的五点：(0,0),(；,1),(几，0),号,1),(2Ji,0);y=cosx的五点:(0,1),(?,0),(只，T),(y,0),(2n,1).问题1-6正弦函数和余弦函数这两者的图象能否通过左右平移得到？提示:能.将正弦函数的图象向左平移?个单位长度，得到余弦函数的图象.梳理正弦函数、余弦函数的图象小试身手函数y=sinxy=cosx图象y亨yi-1图象画法五点法五点法关键(0,0),(p1),(兀，o),(0,1),(p0),(叭五点(，-1),(2叭0)-1),(学,o),(2n,D1.用“五点法”作y=2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(A)0,pn,|n,2n0,n2 2424(C)0,ji,2Ji,3n,4Ji(D)0,罗6323解析：由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为x=o,兀，：n,2n.故选A.2.函数y=-sinx,xe-Hy的简图是(D)(C)(D)解析:可以用特殊点来验证.当x=0时,y=-sin0=0,排除A,C;当x=时,y=-siny=l,排除B.故选D.3.不等式cosx0,xG0,2n的解集为.解析：由函数y=cosx的图象可知，不等式cosxl;yl.解:按五个关键点，列表如下：X-兀TC20712nsinx0-1010l2sinx131-11描点并连线得由图象可知图象在y=l上方部分时yl,在y=l下方部分时yy=l-2Binx9x所以当xe(-n,O)时,yl;当x(0,n)时,ya(或cosxa)的方法作出y=a,y=sinx(或y=cosx)的图象. 确定sinx二a(或cosx=a)的x值(一般是先求函数在0,2兀或-兀,兀内的x值). 确定sinxa(或cosxa)的解集.3Q探究点三正、余弦曲线的综合应用例3在(0,2兀)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是()(A)(拓)u(孔乎)(B)(Hk)4 244（0马罕）（D）C）UT）解析:在同一坐标系中作出y=sinx,xe（0,2n）与y=cosx,xE（0,2兀）的图象如图所示，由图象可观察出当x&（?,乎）时，sinxcosx.44故选C.变式训练3-1函数f（x）=Vcosx-sinx在（0,2n）内的定义域是.解析：由题意,cosxNsinx.在同一直角坐标系内作出函数y二cosx与y=sinx的图象（图略），可知不等式的解集为（0,：U呼,2n）.即函数的定义域为（0,：U罕,2兀）.答案：（0,?胃,2244寸方法总结涉及关于sinxcosx（或sinxWcosx）的不等式问题,可以在同一直角坐标系内作出两函数的图象，根据图象确定不等式的解集.备用例题例1作函数y=sinx,xG0,2兀与函数y=-l+sinx,xE0,2n的简图，并研究它们之间的关系.解:按五个关键点列表：X0712兀3nT2n
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