新编高考数学浙江专用总复习教师用书：第2章 第4讲　幂函数与二次函数 Word版含解析

第第 4 讲讲幂函数与二次函数幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念；掌握幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，y1x的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知 识 梳 理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数.(2)常见的 5 种幂函数的图象(3)常见的 5 种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR0，)x|xR，且 x0值域R0，)R0， )y|yR，且 y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为 f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 时，幂函数 yxn在(0，)上是增函数.()(3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数.()(4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.()解析(1)由于幂函数的解析式为 f(x)x，故 y2x13不是幂函数，(1)错.(3)由于当 b0 时，yax2bxcax2c 为偶函数，故(3)错.(4)对称轴 xb2a，当b2a小于 a 或大于 b 时，最值不是4acb24a，故(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(20 xx全国卷)已知 a243，b323，c2513，则()A.bacB.abcC.bcaD.caab.答案A3.已知 f(x)x2pxq 满足 f(1)f(2)0，则 f(1)的值是()A.5B.5C.6D.6解析由 f(1)f(2)0 知方程 x2pxq0 的两根分别为 1，2，则 p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案C4.(20 xx杭州测试)若函数 f(x)是幂函数，则 f(1)_，若满足 f(4)8f(2)，则 f13 _.解析由题意可设 f(x)x，则 f(1)1，由 f(4)8f(2)得 482，解得3，所以 f(x)x3，故 f13 133127.答案11275.若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点， 则实数m的值为_.解析由m23m31，m2m20，解得 m1 或 2.经检验 m1 或 2 都适合.答案1 或 26.若函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数 a 的取值范围是_.解析二次函数 f(x)图象的对称轴是 x1a，由题意知 1a3，a2.答案(，2考点一幂函数的图象和性质【例 1】 (1)(20 xx济南诊断测试)已知幂函数 f(x)kx的图象过点12，22 ，则 k等于()A.12B.1C.32D.2(2)若(2m1)12(m2m1)12，则实数 m 的取值范围是()A.， 512B.512，C.(1，2)D.512，2解析(1)由幂函数的定义知 k1.又 f12 22，所以1222，解得12，从而 k32.(2)因为函数 yx12的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m10，m2m10，2m1m2m1.解得m12，m 512或 m512，1m2，即512m0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练 1】 (1)幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的图象是()(2)已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为()A.3B.1C.2D.1 或 2解析(1)设 f(x)x(R)，则 42，12，因此 f(x)x12，根据图象的特征，C 正确.(2)幂函数 f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是减函数，n22n21，n23n0，其图象如图所示，又x4，6，f(|x|)在区间4，1)和0，1)上为减函数，在区间1，0)和1，6上为增函数.规律方法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用， 尤其是给定区间上的二次函数最值问题， 先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.【训练 2】 (1)设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()(2)(20 xx武汉模拟)若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_.解析(1)由 A，C，D 知，f(0)c0，所以 ab0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f(0)c0，所以 ab0，所以 xb2axk 在区间3，1上恒成立，试求 k 的取值范围.解(1)由题意知b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2.所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区间3，1上恒成立，令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)x12234知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x)ming(1)1，所以 k1，故 k 的取值范围是(，1).规律方法(1)对于函数 yax2bxc，若是二次函数，就隐含着 a0，当题目未说明是二次函数时，就要分 a0 和 a0 两种情况讨论.(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.【训练 3】 (20 xx九江模拟)已知 f(x)x22(a2)x4， 如果对 x3， 1， f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_.解析因为 f(x)x22(a2)x4，对称轴 x(a2)，对 x3，1，f(x)0 恒成立，所以讨论对称轴与区间3，1的位置关系得：（a2）3，f（3）0，或3（a2）1，0，或（a2）1，f（1）0，解得 a或 1a4 或12a1，所以 a 的取值范围为12，4.答案12，4命题角度二二次函数的零点问题【例 32】 (20 xx全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(2x)，若函数 y|x22x3|与 yf(x)图象的交点为(x1， y1)， (x2， y2)， ， (xm， ym)， 则 mi1xi()A.0B.mC.2mD.4m解析由f(x)f(2x)知函数f(x)的图象关于直线x1对称.又y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线 x1 对称，所以这两函数的交点也关于直线 x1 对称.不妨设 x1x20 时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；f(1)，则()A.a0，4ab0B.a0，2ab0D.af(1)，所以函数图象应开口向上，即 a0，且其对称轴为 x2，即b2a2，所以 4ab0.答案A3.在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 yax1a的图象可能是()解析若 a0，yxa的图象知排除 A，B 选项，但 yax1a的图象均不适合，综上选B.答案B4.若函数 f(x)x2axa 在区间0，2上的最大值为 1，则实数 a 等于()A.1B.1C.2D.2解析函数 f(x)x2axa 的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，f(0)a，f(2)43a，a43a，a1或a43a，43a1，解得 a1.答案B5.若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是()A.(，2)B.(2，)C.(6，)D.(，6)解析不等式 x24x2a0 在区间(1，4)内有解等价于 a(x24x2)max，令 f(x)x24x2，x(1，4)，所以 f(x)f(4)2，所以 a1225，得223123253，即 PRQ.答案PRQ7.若 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1，2上都是减函数，则 a 的取值范围是_.解析由 f(x)x22ax 在1，2上是减函数可得1，2a，)，a1.y1x1在(1，)上为减函数，由 g(x)ax1在1，2上是减函数可得 a0，故 0f(a1)的实数 a 的取值范围.解幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)， 22(m2m)1，即 2122(m2m)1.m2m2.解得 m1 或 m2.又mN*，m1.f(x)x12，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数.由 f(2a)f(a1)得2a0，a10，2aa1，解得 1a1，即 a12时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即 a1 满足题意.综上可知，a13或1.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.(20 xx浙江卷)已知函数 f(x)x2bx， 则“b0”是“f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析f(x)x2bxxb22b24，当 xb2时，f(x)minb24.又 f(f(x)(f(x)2bf(x)f（x）b22b24，当 f(x)b2时，f(f(x)minb24，当b2b24时，f(f(x)可以取到最小值b24，即 b22b0，解得 b0 或 b2，故“b0，若 a，bR，且 ab0，则 f(a)f(b)的值()A.恒大于 0B.恒小于 0C.等于 0D.无法判断解析依题意，幂函数 f(x)在(0，)上是增函数，m2m11，4m9m510，解得 m2，则 f(x)x2 015.函数 f(x)x2 015在 R 上是奇函数，且为增函数.由 ab0，得 ab，f(a)f(b)，则 f(a)f(b)0.答案A13.已知函数 f(x)2x，x2，（x1）3，x2，若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_.解析作出函数 yf(x)的图象如图.则当 0k0，bR，cR).(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(x)f（x） ，x0，f（x） ，x0，（x1）2，x0.F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由 a1，c0，得 f(x)x2bx，从而|f(x)|1 在区间(0， 1上恒成立等价于1x2bx1 在区间(0， 1上恒成立，即 b1xx 且 b1xx 在(0，1上恒成立.又1xx 的最小值为 0，1xx 的最大值为2.2b0.故 b 的取值范围是2，0.15.(20 xx嘉兴模拟)已知 mR，函数 f(x)x2(32m)x2m.(1)若 0m12，求|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)；(2)对任意的 m(0，1，若 f(x)在0，m上的最大值为 h(m)，求 h(m)的最大值.解(1)f(x)x32m224m28m174，则对称轴为 x32m2，由 0m12，得 02m1，则 132m232，故函数 f(x)在1，1上为增函数，则当 x1 时，函数 f(x)取得最大值，f(1)4m；当 x1 时，函数 f(x)取得最小值 f(1)3m2.又0m12，03m32，2|f(1)|，即|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)f(1)4m.(2)由(1)知函数的对称轴为 x32m2，且函数开口向下，由 0m1，则 02m2，所以1232m232，若 m32m2， 即 032m2，即34m1 时，函数 f(x)在0，m上不单调，此时当 x32m2时，函数 f(x)取得最大值 h(m)m22m174，即 h(m)m22m174，34m1，3m24m2，0m34，当 0m34时，h(m)3m24m2 的对称轴为 m42（3）23，即当 m23时，函数 h(m)取得最大值 h23 32324232103.当34m1 时， h(m)m22m174的对称轴为 m1， 此时函数 h(m)在34，1上为减函数，则函数 h(m)h34 3422341745316103.所以 h(m)的最大值为103.