中考数学试题分项版解析汇编（第03期）专题10 四边形（含解析）

专题10 四边形一、选择题1（2017四川省南充市）已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A2BC3D4【答案】D考点：菱形的性质2（2017四川省广安市）下列说法：四边相等的四边形一定是菱形顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有（）个A4B3C2D1【答案】D【解析】试题分析：四边相等的四边形一定是矩形，错误；顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，错误；对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，正确；其中正确的有1个，故选D考点：1中点四边形；2平行四边形的性质；3菱形的判定；4矩形的判定与性质；5正方形的判定3（2017四川省眉山市）如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（）A14B13C12D10【答案】C考点：平行四边形的性质4（2017四川省绵阳市）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=，AEO=120，则FC的长度为（）A1B2CD【答案】A【解析】试题分析：EFBD，AEO=120，EDO=30，DEO=60，四边形ABCD是矩形，OBF=OCF=30，BFO=60，FOC=6030=30，OF=CF，又RtBOF中，BO=BD=AC=，OF=tan30BO=1，CF=1，故选A考点：1矩形的性质；2全等三角形的判定与性质；3解直角三角形5（2017四川省达州市）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2017次若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A2017B2034C3024D3026【答案】D考点：1轨迹；2矩形的性质；3旋转的性质；4规律型；5综合题6（2017山东省枣庄市）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A12B27C32D36【答案】C【解析】试题分析：A（3，4），OA= =5，四边形OABC是菱形，AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为35=8，故B的坐标为：（8，4），将点B的坐标代入得，4=，解得：k=32故选C考点：1菱形的性质；2反比例函数图象上点的坐标特征7（2017广东省）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：SABF=SADF；SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF，其中正确的是（）ABCD【答案】C考点：正方形的性质8（2017河北省）求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O求证：ACBD以下是排乱的证明过程：又BO=DO；AOBD，即ACBD；四边形ABCD是菱形；AB=AD证明步骤正确的顺序是（）ABCD【答案】B【解析】试题分析：四边形ABCD是菱形，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，BO=DO，AOBD，即ACBD，证明步骤正确的顺序是，故选B 考点：菱形的性质9（2017河北省）如图是边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）不正确的（）A B C D【答案】A考点：1正方形的性质；2勾股定理10（2017浙江省丽水市）如图，在ABCD中，连结AC，ABC=CAD=45，AB=2，则BC的长是（）ABCD【答案】C【解析】试题分析：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=2，BC=AD，D=ABC=CAD=45，AC=CD=2，ACD=90，即ACD是等腰直角三角形，BC=AD=；故选C考点：平行四边形的性质11（2017浙江省台州市）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将AEH，CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（）A B2C D4【答案】A考点：1翻折变换（折叠问题）；2菱形的性质；3矩形的性质12（2017重庆市B卷）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）ABCD【答案】C【解析】试题分析：矩形ABCD，AD=CB=2，S阴影=S矩形S半圆=2422=82，故选C考点：1扇形面积的计算；2矩形的性质二、填空题13（2017四川省南充市）如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG=2BG，SBPG=1，则SAEPH= 【答案】4考点：平行四边形的性质14（2017四川省南充市）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：BE=DG；BEDG；，其中正确结论是 （填序号）【答案】【解析】试题分析：设BE，DG交于O，四边形ABCD和EFGC都为正方形，BC=CD，CE=CG，BCD=ECG=90，BCE+DCE=ECG+DCE=90+DCE，即BCE=DCG，在BCE和DCG中，BC=DC，BCE=DCG，CE=CG，BCEDCG（SAS），BE=DG，1=2，1+4=3+1=90，2+3=90，BOC=90，BEDG；故正确；连接BD，EG，如图所示，DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故正确故答案为：考点：1旋转的性质；2全等三角形的判定与性质；3正方形的性质15（2017四川省绵阳市）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 【答案】（7，4）【解析】试题分析：四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），BC=OA=6，6+1=7，点B的坐标是（7，4）；故答案为：（7，4）考点：1平行四边形的性质；2坐标与图形性质16（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作O与AD相切于点P若AB=6，BC=，则下列结论：F是CD的中点；O的半径是2；AE=CE；其中正确结论的序号是 【答案】【解析】试题分析：AF是AB翻折而来，AF=AB=6，AD=BC=，DF=3，F是CD中点；正确；连接OP，O与AD相切于点P，OPAD，ADDC，OPCD，设OP=OF=x，则，解得：x=2，正确；RTADF中，AF=6，DF=3，DAF=30，AFD=60，EAF=EAB=30，AE=2EF；AFE=90，EFC=90AFD=30，EF=2EC，AE=4CE，错误；连接OG，作OHFG，AFD=60，OF=OG，OFG为等边；同理OPG为等边；POG=FOG=60，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，S阴影=（S矩形OPDHS扇形OPGSOGH）+（S扇形OGFSOFG）=S矩形OPDHSOFG=正确；故答案为：考点：1切线的性质；2矩形的性质；3扇形面积的计算；4翻折变换（折叠问题）；5综合题17（2017山东省枣庄市）如图，在ABCD中，AB为O的直径，O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，C=60，则的长为 【答案】考点：1切线的性质；2平行四边形的性质；3弧长的计算18（2017山东省枣庄市）在矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= （结果保留根号）【答案】考点：1矩形的性质；2等腰三角形的判定；3相似三角形的判定与性质19（2017广东省）一个n边形的内角和是720，则n= 【答案】6【解析】试题分析：设所求正n边形边数为n，则（n2）180=720，解得n=6考点：多边形内角与外角20（2017广东省）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为 【答案】考点：1翻折变换（折叠问题）；2矩形的性质；3综合题21（2017广西四市）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=2，BD=，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为 【答案】7【解析】试题分析：四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=，ABO=CBO，ACBD，AO=1，BO=，tanABO=，ABO=30，AB=2，ABC=60，由折叠的性质得，EFBO，OE=BE，BEF=OEF，BE=BF，EFAC，BEF是等边三角形，BEF=60，OEF=60，AEO=60，AEO是等边三角形，AE=OE，BE=AE，EF是ABC的中位线，EF=AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，五边形AEFCD的周长为=1+1+1+2+2=7故答案为：7考点：1翻折变换（折叠问题）；2菱形的性质；3综合题22（2017江苏省连云港市）如图，在ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F若EAF=60，则B= 【答案】60考点：平行四边形的性质23（2017浙江省绍兴市）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GECD，GFBC，AD=1500m，小敏行走的路线为BAGE，小聪行走的路线为BADEF若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m【答案】4600【解析】试题分析：小敏走的路程为AB+AG+GE=1500+（AG+GE）=3100，则AG+GE=1600m，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF）连接CG，在正方形ABCD中，ADG=CDG=45，AD=CD，在ADG和CDG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，ADGCDG，AG=CG又GECD，GFBC，BCD=90，四边形GECF是矩形，CG=EF又CDG=45，DE=GE，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG）=3000+1600=4600（m）故答案为：4600考点：1全等三角形的判定与性质；2正方形的性质24（2017重庆市B卷）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则EMN的周长是 【答案】【解析】试题分析：如图1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，DCAB，PQAB，四边形ABCD是正方形，ACD=45，PEC是等腰直角三角形，PE=PC，设PC=x，则PE=x，PD=4x，EQ=4x，PD=EQ，DPE=EQF=90，PED=EFQ，DPEEQF，DE=EF，易证明DECBEC，DE=BE，EF=BE，EQFB，FQ=BQ=BF，AB=4，F是AB的中点，BF=2，FQ=BQ=PE=1，CE=，RtDAF中，DF=，DE=EF，DEEF，DEF是等腰直角三角形，DE=EF=，PD=3，如图2，DCAB，DGCFGA， = =2，CG=2AG，DG=2FG，FG=，AC=，CG=，EG=，连接GM、GN，交EF于H，GFE=45，GHF是等腰直角三角形，GH=FH= =，EH=EFFH=，NDE=AEF，tanNDE=tanAEF=， =，EN=，NH=EHEN=，RtGNH中，GN= = =，由折叠得：MN=GN，EM=EG，EMN的周长=EN+MN+EM=+=；故答案为：考点：1翻折变换（折叠问题）；2正方形的性质；3综合题三、解答题25（2017四川省南充市）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB（1）求证：EFAG；（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EFAG是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当，求PAB周长的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）【解析】（2）证明AEFBAG，得出AEF=BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过O作MNAB，交AD于M，BC于N，则MNAD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG，则EGAB，EG=AB=4，证明AOFGOE，得出 =，证出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=AB，EAF=ABG=90，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB， =， =，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90，AEF+EAO=90，AOE=90，EFAG；（2）解：成立；理由如下：根据题意得： =， =，=，又EAF=ABG，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90，AEF+EAO=90，AOE=90，EFAG；（3）解：过O作MNAB，交AD于M，BC于N，如图所示：则MNAD，MN=AB=4，P是正方形ABCD内一点，当SPAB=SOAB，点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG、PA、PB，则EGAB，EG=AB=4，AOFGOE，=，MNAB， =，AM=AE=2=，由勾股定理得：PA= =，PAB周长的最小值=2PA+AB=考点：1四边形综合题；2探究型；3动点型；4最值问题26（2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BFCE，垂足为G，求证：AF=BE【答案】证明见解析考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质27（2017四川省眉山市）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由于BFDE，所以GFD=90，从而可知CBG=CDE，根据全等三角形的判定即可证明BCGDCE，从而可知BG=DE；（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证ABHCGH，所以=2，从而可求出HG的长度，进而求出的值试题解析：（1）BFDE，GFD=90，BCG=90，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG与DCE中，CBG=CDE，BC=CD，BCG=DCE，BCGDCE（ASA），BG=DE；（2）设CG=1，G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，BH=，GH=， =考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3正方形的性质28（2017四川省绵阳市）如图，已知ABC中，C=90，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持NMC=45，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将MNF关于直线NF对称后得到ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），ENF与ANF重叠部分的面积为y（cm2）（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；（3）当y取最大值时，求sinNEF的值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由已知得出CN=CM=t，FNBC，得出AN=8t，由平行线证出ANFACB，得出对应边成比例求出NF=AN=（8t），由对称的性质得出ENF=MNF=NMC=45，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FDNE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF= HF=，在RtDEF中，由三角函数定义即可求出sinNEF的值试题解析：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：连接ME交NF于O，如图1所示：C=90，NMC=45，NFAC，CN=CM=t，FNBC，AN=8t，ANFACB， =2，NF=AN=（8t），由对称的性质得：ENF=MNF=NMC=45，MN=NE，OE=OM=CN=t，四边形MNEF是正方形，OE=ON=FN，t=（8t），解得：t=；即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为； （2）分两种情况：当0t2时，y=（8t）t=，即（0t2）；当2t4时，如图2所示：作GHNF于H，由（1）得：NF=（8t），GH=NH，GH=2FH，GH=NF=（8t），y=NFGH=（8t）（8t）=，即（2t4）；综上所述： 考点：1四边形综合题；2最值问题；3动点型；4存在型；5分类讨论；6压轴题29（2017四川省达州市）如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交ACB、外角ACD的平分线于点E、F（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由【答案】（1）5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出OEC=OCE，OFC=OCF，证出OE=OC=OF，ECF=90，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，EO=FO，四边形AECF是平行四边形，ECF=90，平行四边形AECF是矩形考点：1矩形的判定；2平行线的性质；3等腰三角形的判定与性质；4探究型；5动点型30（2017山东省枣庄市）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及AEC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）ACE是直角三角形；（3）：1，45【解析】试题分析：（1）由正方形的性质证明APECFE，可得结论；（2）分别证明PAE=45和BAC=45，则CAE=90，即ACE是直角三角形；（2）ACE是直角三角形，理由是：如图2，P为AB的中点，PA=PB，PB=PE，PA=PE，PAE=45，又BAC=45，CAE=90，即ACE是直角三角形；（3）设CE交AB于G，EP平分AEC，EPAG，AP=PG=ab，BG=a（2a2b）=2ba，PECF，即，解得：a=b，a：b=：1，作GHAC于H，CAB=45，HG=AG=（2b2b）=（2）b，又BG=2ba=（2）b，GH=GB，GHAC，GBBC，HCG=BCG，PECF，PEG=BCG，AEC=ACB=45考点：1四边形综合题；2探究型；3变式探究31（2017山东省济宁市）实验探究：（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN请你观察图1，猜想MBN的度数是多少，并证明你的结论（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论【答案】（1）MBN=30；（2）MN=BM【解析】试题分析：（1）猜想：MBN=30只要证明ABN是等边三角形即可；（2）结论：MN=BM折纸方案：如图2中，折叠BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP理由：由折叠可知MOPMNP，MN=OM，OMP=NMP=OMN=30=B，MOP=MNP=90，BOP=MOP=90，OP=OP，MOPBOP，MO=BO=BM，MN=BM考点：1翻折变换（折叠问题）；2矩形的性质；3剪纸问题32（2017广东省）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，BAD=FAD，BAD为锐角（1）求证：ADBF；（2）若BF=BC，求ADC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）150【解析】试题分析：（1）连结DB、DF根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明BADFAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明ADBF；（2）如图，设ADBF于H，作DGBC于G，则四边形BGDH是矩形，DG=BH=BFBF=BC，BC=CD，DG=CD在直角CDG中，CGD=90，DG=CD，C=30，BCAD，ADC=180C=150考点：菱形的性质33（2017广西四市）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，COD=60，求矩形ABCD的面积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，证出OE=OF，由SAS证明AOECOF，即可得出AE=CF；（2）证出AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积试题解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中，OA=OC，AOE=COF，OE=OF，AOECOF（SAS），AE=CF；（2）解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=COD=60，AOB是等边三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，BC=，矩形ABCD的面积=ABBC=6=考点：1矩形的性质；2全等三角形的判定与性质34（2017江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）ABE=30【解析】试题分析：（1）由矩形可得ABD=CDB，结合BE平分ABD、DF平分BDC得EBD=FDB，即可知BEDF，根据ADBC即可得证；（2）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60，EBD=ABE=30，四边形ABCD是矩形，A=90，EDB=90ABD=30，EDB=EBD=30，EB=ED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形考点：1矩形的性质；2平行四边形的判定与性质；3菱形的判定；4探究型35（2017江苏省盐城市）（探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=60，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 （用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积 【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积【答案】【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】720；【实际应用】1944【拓展应用】：由APNABC知，可得PN=aPQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN，据此可得；【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证AEFHED、CDGHDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得试题解析：【探索发现】EF、ED为ABC中位线，EDAB，EFBC，EF=BC，ED=AB，又B=90，四边形FEDB是矩形，则 =，故答案为：；【拓展应用】PNBC，APNABC，即，PN=aPQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQPN=x（ax）= =，当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF和HED中，FAE=DHE，AE=AH，AEF=HED，AEFHED（ASA），AF=DH=16，同理CDGHDE，CG=HE=20，BI=（AB+AF）=24，BI=2432，中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLBC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为BGBF=（40+20）（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，tanB=tanC=，B=C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH=BC=54cm，tanB=，EH=BH=54=72cm，在RtBHE中，BE=90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE的中点Q在线段AB上，CD=60cm，ED=30cm，CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BCEH=1944cm2答：该矩形的面积为1944cm2考点：1四边形综合题；2阅读型；3探究型；4最值问题；5压轴题36（2017江苏省连云港市）问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AHBF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1如图2，当AHBF时，若将点G向点C靠近（DGAE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S如图3，当AHBF时，若将点G向点D靠近（DGAE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AHBF，AEDG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值【答案】问题呈现：；实验探究：；迁移应用：（1）EG=；（2）（2）分两种情形探究即可解决问题试题解析：问题呈现：证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD，A=90，AE=DG，四边形AEGD是矩形，SHGE=S矩形AEGD，同理SEGF=S矩形BEGC，S四边形EFGH=SHGE+SEFG=S矩形BEGC实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD理由： =， =， =， =，S四边形EFGH=+，2S四边形EFGH=2+2+2+22，2S四边形EFGH=S矩形ABCD迁移应用：解：（1）如图4中，2S四边形EFGH=S矩形ABCD， =25211=3=A1B1A1D1，正方形的面积为25，边长为5，A1D12=HF252=2925=4，A1D1=2，A1B1=，EG2=A1B12+52=，EG=（2）2S四边形EFGH=S矩形ABCD+，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大如图51中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积=1（2）=如图52中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积=21=2，2，矩形EFGH的面积最大值=考点：1四边形综合题；2最值问题；3阅读型；4探究型；5压轴题37（2017浙江省丽水市）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GFAF交AD于点G，设（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值【答案】（1）证明见解析；（2）= ；（3）n=16或 【解析】试题分析：（1）因为GFAF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BEAF和BAE=D=90，可证明ABEDAC ， 则，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，FCG=90，CFG=90，CGF=90；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除FCG=90，所以就以CFG=90和CGF=90进行分析解答试题解析：（1）证明：由对称得AE=FE，EAF=EFA，GFAE，EAF+FGA=EFA+EFG=90，FGA=EFG，EG=EF，AE=EG（2）解：设AE=a，则AD=na，当点F落在AC上时（如图1），由对称得BEAF，ABE+BAC=90，DAC+BAC=90，ABE=DAC，又BAE=D=90，ABEDAC ，AB=DC，AB2=ADAE=naa=na2，AB0，AB=，= =，= 考点：1矩形的性质；2解直角三角形的应用；3相似三角形的判定与性质；4分类讨论；5压轴题38（2017浙江省绍兴市）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90若AB=CD=1，ABCD，求对角线BD的长若ACBD，求证：AD=CD；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长【答案】（1）；证明见解析；（2）5或6.5【解析】试题分析：（1）只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；只要证明ABDCBD，即可解决问题；（2）如图1中，连接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，BF=PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5考点：1四边形综合题；2分类讨论；3新定义；4压轴题39（2017浙江省绍兴市）如图，已知ABCD，ABx轴，AB=6，点A 的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3，4），点B在第四象限，点P是ABCD边上一个动点（1） 若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标（2）若点P在边AB、AD上，点P关于坐标轴对称的点Q ，落在直线上，求点P的坐标（3） 若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图，过点作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）【答案】（1）P（3，4）；（2）（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）P（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）【解析】试题分析：（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M落在x轴还是y轴，可运用相似求解试题解析：（1）CD=6，点P与点C重合，点P的坐标是（3，4）（2）当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为： ，设P（a，-2a-2），且-3a1若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1a7若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3m3，则可得MP=PM=4+2=6，MG=GM=|m|，易证得OGMHMP，则，即，则OM=，在RtOGM中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，则P（ -，4）或（ ，4）；如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），则PM=PM=|-2m|，GM=MG=|m|，易证得OGMHMP，则，即，则OM=，在RtOGM中，由勾股定理得， ，整理得m= -，则P（-，3）； 如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M在y轴上，则四边形PMGM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）考点：1一次函数综合题；2平行四边形的性质；3翻折变换（折叠问题）；4动点型；5分类讨论；6压轴题40（2017湖北省襄阳市）如图，AEBF，AC平分BAE，且交BF于点C，BD平分ABF，且交AE于点D，连接CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若ADB=30，BD=6，求AD的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平行线的性质和角平分线定义得出ABD=ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）解：四边形ABCD是菱形，BD=6，ACBD，OD=OB=BD=3，ADB=30，cosADB=，AD=考点：菱形的判定与性质