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1 1专题3 导数一选择题1. 【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷11】在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3B2C1D02.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D二填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： .式可以用语言叙述为： .2.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】已知函数的图象在M（1，f（1）处的切线方程是+2， .三解答题1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.【解析】依题意若函数在上是增函数，则在上，所以在恒成立，设，由于的图象是对称轴为直线且开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立故实数的取值范围是.2.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极值2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间.3. 【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. （）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;（）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解析】（）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，又由已知条件，于是有，所以（）根据（），我们有21200极小极大故时，达到极大值因为，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大4. 【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】已知函数（为常数，且）有极大值9.（）求的值；（）若斜率为5的直线是曲线的切线，求此直线方程.【解析】() f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则x=m或x=m, 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,m)m(m,)(,+)f(x)+00+f (x)极大值极小值从而可知，当x=m时，函数f(x)取得极大值9，即f(m)m3+m3+m3+1=9,m2.()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知f(x)3x24x45，x1或x.又f(1)6，f()，所以切线方程为y65(x1),或y5(x)，即5xy10，或135x27y230.5. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】已知关于x的函数f(x)bx2cxbc,其导函数为f+(x).令g(x)f+(x) ,记函数g(x)在区间-1、1上的最大值为M. ()如果函数f(x)在x1处有极值-，试确定b、c的值： （）若b1,证明对任意的c,都有M2: ()若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。【解析】（I），由在处有极值可得，解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则（1）当时，由（）可知； （2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时 ，即下同解法1.6. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】设函数，其中a0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1.（）确定b、c的值；（）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，；（）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围.由(1)-(2)得又，此时，与矛盾，所以.（）由（）知，过点(0,2)可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根.设，则.令0得列表如下：000极大值1极小值由的单调性知，要使=0有三个相异的实根，当且仅当，即.a的取值范围是.7.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】设函数，其中，、为常数已知曲线与在点处有相同的切线（）求、的值，并写出切线的方程；（）若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围【解析】（），8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】设函数，为正整数，a，b为常数. 曲线在 处的切线方程为.（）求a，b的值；（）求函数的最大值；（）证明：.【解析】（）因为，由点在上，可得，即. 因为，所以. 9.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】设，已知函数.（）当时，讨论函数的单调性；（）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H. 若，求的取值范围. 【解析】(1)f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x).当ab时，f(x)0，函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递增；当ab时，f(x)0，函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递减(2)计算得f(1)0，故，得，即x的取值范围为.10.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.11. 【20xx高考湖北，文21】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中e为自然对数的底数. （）求，的解析式，并证明：当时，；（）设，证明：当时，.【答案】（），.证明：当时，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 当时，等价于 等价于 于是设函数 ，由，有 当时，（1）若，由，得，故在上为增函数，从而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故成立.综合，得 .
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