新版新课标高三数学一轮复习 第8篇 第7节 曲线与方程课时训练 理

1 1【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第8篇 第7节 曲线与方程课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程1直接法求轨迹(方程)4、9、12、13定义法求轨迹(方程)2、5、6、11、15、16、17相关点法求轨迹(方程)7、10、14参数法求轨迹(方程)3、8基础过关一、选择题1.方程(x2+y2-4)x+y+1=0的曲线形状是(C)解析:原方程可化为x2+y2-4=0,x+y+10或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C.2. ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是(C)(A)x29-y216=1(B)x216-y29=1(C)x29-y216=1(x3)(D)x216-y29=1(x4)解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为x29-y216=1 (x3).3.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=1OA+2OB(O为坐标原点),其中1,2R,且1+2=1,则点C的轨迹是(A)(A)直线(B)椭圆(C)圆(D)双曲线解析:设C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=1OA+2OB,x=31-2,y=1+32,又1+2=1,x+2y-5=0,表示一条直线.4.动点P为椭圆x2a2+y2b2=1 (ab0)上异于椭圆顶点(a,0)的一点,F1、F2为椭圆的两个焦点,动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心C的轨迹为(D)(A)椭圆 (B)双曲线(C)抛物线(D)直线解析:如图所示,设三个切点分别为M、N、Q.|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|=2a,|F2N|=a-c,N点是椭圆的右顶点,CNx轴,圆心C的轨迹为直线.5.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为(A)(A)x2-y28=1 (x1)(B)x2-y28=1 (x0)(D)x2-y210=1 (x1)解析:设另两个切点为E、F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|.从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=21).故选A.6.点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点,过焦点F2作F1PF2外角平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹是(A)(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线解析:如图,延长F2M交F1P延长线于N.|PF2|=|PN|,|F1N|=2a.连接OM,则在NF1F2中,OM为中位线,则|OM|=12|F1N|=a.点M的轨迹是圆.7.(20xx瑞安十校模拟)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)(A)(x-2)2+(y+1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2,又(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.8.(20xx东营模拟)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点D,E分别在线段OC,AB上运动,且OD=BE,设AD与OE交于点G,则点G的轨迹方程是(A)(A)y=x(1-x)(0x1)(B)x=y(1-y)(0y1)(C)y=x2(0x1)(D)y=1-x2(0x1)解析:设D(0,),E(1,1-)(01),所以线段AD方程为x+y=1(0x1),线段OE方程为y=(1-)x(0x1) ,联立方程组x+y=1(0x1),y=(1-)x(0x1)(为参数),消去参数得点G的轨迹方程为y=x(1-x)(0x1).二、填空题9.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.解析:设P(x,y),MPN为直角三角形,|MP|2+|NP|2=|MN|2,(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.M,N,P不共线,x2,轨迹方程为x2+y2=4 (x2).答案:x2+y2=4 (x2)10.P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点,O为坐标原点,OQ=PF1+PF2,则动点Q的轨迹方程是.解析:OQ=PF1+PF2,如图,PF1+PF2=PM=2PO=-2OP,设Q(x,y),则OP=-12OQ=-12(x,y)=(-x2,-y2),即P点坐标为(-x2,-y2),又P在椭圆上,则有(-x2)2a2+(-y2)2b2=1,即x24a2+y24b2=1.答案:x24a2+y24b2=111.设x,yR,i、j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,则点M(x,y)的轨迹方程为.解析:由已知得a=(x,y+2),b=(x,y-2),而|a|+|b|=8,故有x2+(y+2)2+x2+(y-2)2=8,由式知动点M(x,y)到两定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为一常数,满足椭圆的定义,故M点轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆,椭圆的长半轴长a=4,所以短半轴长b=23,故其轨迹方程为x212+y216=1.答案:x212+y216=1三、解答题12.(20xx长春高三调研)已知平面上的动点P(x,y)及两个定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2且k1k2=-14.(1)求动点P的轨迹C方程;(2)设直线l:y=kx+m与曲线 C交于不同两点M,N,当OMON时,求O点到直线l的距离(O为坐标原点).解:(1)设P(x,y),由已知得yx+2yx-2=-14,整理得x2+4y2=4,即x24+y2=1(x2).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,得4k2+1-m20.x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,OMON,x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)4m2-44k2+1+km(-8km4k2+1)+m2=0,m2=45(k2+1)满足4k2+1-m20,O点到l的距离为d=|m|1+k2,即d2=m21+k2=45,d=255.13.(20xx高考陕西卷)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,|O1M|=x2+42,又|O1A|=(x-4)2+y2,(x-4)2+y2=x2+42,化简得y2=8x(x0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中=-32kb+640.由根与系数的关系得,x1+x2=8-2bkk2,x1x2=b2k2,因为x轴是PBQ的角平分线,所以y1x1+1=-y2x2+1,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,将代入,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此时0,直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).能力提升14.在平行四边形ABCD中,BAD=60,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足:xAB+yAD+PA=0(x,yR).则当点P在以A为圆心,33|BD|为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为(D)(A)4x2+y2+2xy=1(B)4x2+y2-2xy=1(C)x2+4y2-2xy=1(D)x2+4y2+2xy=1解析:如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设AD=2.据题意,AB=1,ABD=90,BD=3.B、D的坐标分别为(1,0)、(1,3),AB=(1,0),AD=(1,3).设点P的坐标为(m,n),即AP=(m,n),则由xAB+yAD+PA=0,得:AP=xAB+yAD,m=x+y,n=3y.据题意,m2+n2=1,x2+4y2+2xy=1.15.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a0)且与y轴相交于点A、B,若ABP为正三角形,则点P的轨迹方程为.解析:设P(x,y),动圆P的半径为R,由于ABP为正三角形,P到y轴的距离d=32R,即|x|=32R.而R=|PF|=(x-a)2+y2,|x|=32(x-a)2+y2.整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即(x+3a)212a2-y24a2=1.答案:(x+3a)212a2-y24a2=116.(20xx高考广东卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解:(1)依题意得,c=5,e=ca=53,因此a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程是x29+y24=1.(2)若两切线的斜率均存在,设过点P(x0,y0)的切线方程是y=k(x-x0)+y0,则由y=k(x-x0)+y0,x29+y24=1,得x29+k(x-x0)+y024=1,即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,因为直线与椭圆C相切,所以=18k(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,整理得(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0.又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为k1,k2,于是有k1k2=-1,即y02-4x02-9=-1,即x02+y02=13(x03).若两切线中有一条斜率不存在,则易得x0=3,y0=2或x0=-3,y0=2或x0=3,y0=-2或x0=-3,y0=-2.经检验知均满足x02+y02=13.因此,动点P(x0,y0)的轨迹方程是x2+y2=13.探究创新17.(20xx河南郑州一模)如图,PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面互相垂直,且AD,BC,AD=4,BC=8,AB=6,若tanADP+2tanBCP=10,则点P在平面内的轨迹是(B)(A)圆的一部分 (B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)抛物线的一部分解析:由题意可知PAAD+2PBBC=10,则PA+PB=40AB=6,又因P、A、B三点不共线,故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分.