新编新课标高三数学一轮复习 第2篇 第11节 导数在研究函数中的应用课时训练 理

【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第2篇 第11节 导数在研究函数中的应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的单调性1、5、7、9、11导数研究函数的极值2、4、8、14导数研究函数的最值3、6、11导数研究实际应用问题12综合问题10、13、15、16基础过关一、选择题1.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y0x2+2x-30-3x1,函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1).故选D.2.(20xx天津模拟)若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是(D)(A)(0,1)(B)(-,1)(C)(0,+)(D)(0,12)解析:f(x)=3x2-6b,令f(x)=0得x2=2b,由题意知,02b1,所以0b0,函数单调递增;当x(1,e)时,y0,函数单调递减.当x=1时,函数取得最大值-1.4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f(x)的图象不可能是(D)解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f(x)的图象不可能是D.5.(20xx洛阳调研)若f(x)=-12(x-2)2+bln x在(1,+)上是减函数,则b的取值范围是(C)(A)-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1(D)(-,-1)解析:由题意可知f(x)=-(x-2)+bx0,在x(1,+)上恒成立,即bx(x-2)在x(1,+)上恒成立,由于 (x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+)上的值域是(-1,+),故只要b-1即可.6.(20xx福建厦门质检)若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是(C)(A)(-5,1)(B)-5,1)(C)-2,1)(D)(-5,-2解析:f(x)=3x2-3=0,得x=1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上,则函数f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内,即实数a满足a16-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a16-a2,得-5a1,不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,即a3-1-3(a-1)0,即(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2.故实数a的取值范围是-2,1).故选C.二、填空题7.已知向量a=(ex+x22,-x),b=(1,t),若函数f(x)=ab在区间(-1,1)上存在增区间,则t的取值范围为.解析:f(x)=ex+x22-tx,x(-1,1),f(x)=ex+x-t,函数在(-1,1)上存在增区间,故ex+xt,x(-1,1)时有解,故e+1t.答案:(-,e+18.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是.解析:令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2a2时恰有三个不同的公共点.答案:(-2,2)9.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是.解析:由题意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t3.答案:(0,1)(2,3)10.(20xx郑州模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是.解析:f(x)=-3x2+2ax,根据已知2a3=2,得a=3,即f(x)=-x3+3x2-4.根据函数f(x)的极值点,可得函数f(m)在-1,1上的最小值为f(0)=-4,f(n)=-3n2+6n在-1,1上单调递增,所以f(n)的最小值为f(-1)=-9.f(m)+f(n)min=f(m)min+f(n)min=-4-9=-13.答案:-13三、解答题11.(20xx太原模拟)设f(x)=-13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在(23,+)上存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0a0,得a-19,所以当a-19时,f(x)在(23,+)上存在单调递增区间.(2)令f(x)=0,得两根x1=1-1+8a2,x2=1+1+8a2.所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)-f(1)=-272+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a-403=-163,得a=1,x2=2,从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)=103.12.(20xx泰安模拟)某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6x11),年销售为u万件,若已知5858-u与(x-214)2成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.解:(1)设5858-u=k(x-214)2,售价为10元时,年销量为28万件,5858-28=k(10-214)2,解得k=2.u=-2(x-214)2+5858=-2x2+21x+18.y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6x0;当x(9,11)时,y12),当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(D)(A)14(B)13(C)12(D)1解析:由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f(x)=1x-a=0,得x=1a,当0x0;当x1a时,f(x)0.f(x)max=f(1a)=-ln a-1=-1,解得a=1.14.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是.解析:f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f(x)=0有两个不等实根.f(x)=ax3+x,f(x)=3ax2+1.要使f(x)=0有两个不等实根,则a0),由题意知6x0-1=1x0(x00),即6x02-x0-1=0,解得x0=12或x0=-13,又x00,x0=12.(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)相切且在交点处有公共切线,由(1)得切点横坐标为12,f(12)=g(12),34-12+m=ln 12,即m=-14-ln 2,数形结合可知,m-14-ln 2时,f(x)与g(x)有公共切线,故m的取值范围是(-14-ln 2,+).(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-ln x,故F(x)=6x-1-1x=6x2-x-1x=(3x+1)(2x-1)x,当x变化时,F(x)与F(x)在区间13,1上的变化情况如表:x13,12)12(12,1F(x)-0+F(x)极小值又F(13)=m+ln 3,F(1)=2+mF(13),当x13,1时,F(x)min=F(12)=m+14+ln 2(m-14-ln 2),F(x)max=F(1)=m+2(m-14-ln 2).探究创新16.(20xx天津模拟)设函数f(x)=x2+ax-ln x.(1)若a=1,试求函数f(x)的单调区间.(2)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.(1)解:a=1时,f(x)=x2+x-ln x(x0),所以f(x)=2x+1-1x=(2x-1)(x+1)x,x(0,12),f(x)0,所以f(x)的减区间为(0,12),增区间为(12,+).(2)证明:设切点为M(t,f(t),f(x)=2x+a-1x,切线的斜率k=2t+a-1t,又切线过原点k=f(t)t,f(t)t=2t+a-1t,即t2+at-ln t=2t2+at-1,所以t2-1+ln t=0,t=1满足方程t2-1+ln t=0,由y=1-x2,y=ln x图象可知x2-1+ln x=0有唯一解x=1,切点的横坐标为1.