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20xx年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】 【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标理】从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则 .【答案】8【解析】由题意知,取出的两数之和等于5的有两种情况：和,所以,即,解得（舍去）或.2.【20xx全国1高考理】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A B C D【答案】D3【20xx全国理】某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A【解析】此题为条件概率,故选A.4.【20xx全国理】投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为（）.A0.648 B0.432 C0.36 D0.312【答案】A【解析】 根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为故选A【热点深度剖析】从这三年高考来看,对这一热点的考查,主要考查分类计数原理、分步计数原理,排列组合,等可能事件的概率,古典概型,几何概型,条件概率,相互独立事件的概率、互斥事件的概率 20xx年高考考查抽样方法与古典概型,属于基础题；20xx年高考题主要考查古典概型,利用排列组合知识求古典概型的概率及条件概率概率的计算,属于基础题20xx年考查相互对立事件的概率.高考对这一部分知识的考查单独的考题会以选择题、填空题的形式出现,一般在试卷的靠前部分,属于中低难度的题目,难度较低,分清事件是什么事件是解题的关键；排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小,属于高考题中的中低档题目；从高考试题的形式来看,排列组合和概率往往结合在一起考查,且以概率为主,单纯考察排列组合较少,试题难度不大,为中低档题,预测20xx年高考,古典概型概率的计算考查的可能性较大,另外几何概型全国卷还没有考查过,不能忽视【重点知识整合】1.排列数中、组合数中.(1)排列数公式 ； (2)组合数公式；规定,.(3)排列数、组合数的性质：；.2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事）,分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的）,有序排列,无序组合3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置）（2）间接法（对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉）（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）（5）多排问题单排法（6）多元问题分类法（7）有序问题组合法（8）选取问题先选后排法（9）至多至少问题间接法（10）相同元素分组可采用隔板法4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n！5随机事件的概率,其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0； 6.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=.理解这里m、的意义.7、互斥事件：（A、B互斥,即事件A、B不可能同时发生）.计算公式：P(A+B)P(A)+P(B).8、对立事件：（A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生）.计算公式是：P（A）+ P(B)；P()=1P(A)；9、独立事件：（事件A、B的发生相互独立,互不影响）P(AB)P(A) P(B) .提醒：（1）如果事件A、B独立,那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1P（）1P()P().10、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项),其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率.提醒：（1）探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质.在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理,把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率,但要注意公式的使用条件.（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设事件A=“”, B=“”；列式计算；作答.11.古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：(1)有限性：在一次试验中,可能出现的不同的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n个,随机事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为P(A).12几何概型区域A为区域的一个子区域,如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,则称这样的概率模型为几何概率模型几何概型的概率P(A),其中A表示构成事件A的区域长度(面积或体积)表示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积)13、解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”： 求概率的步骤是：第一步,确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运算即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公式求解第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.【应试技巧点拨】1.求排列应用题的主要方法：(1)对无限制条件的问题直接法；(2)对有限制条件的问题,对于不同题型可采取直接法或间接法,具体如下：每个元素都有附加条件列表法或树图法；有特殊元素或特殊位置优先排列法；有相邻元素(相邻排列)捆绑法；有不相邻元素(间隔排列)插空法；2.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理3.解排列、组合的综合应用问题,要按照“先选后排”的原则进行,即一般是先将符合要求的元素取出(组合),再对取出的元素进行排列,常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法要根据实际问题探索分类、分步的技巧,做到层次清楚,条理分明4.事件A的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么？它包含的基本事件有多少回答好这三个方面的问题,解题才不会出错5几何概型的两个特点：一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示6.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中,事件发生的概率相同牢记公式,并深刻理解其含义7解答条件概率问题时应注意的问题(1)正确理解事件之间的关系是解答此类题目的关键(2)在求时,要判断事件与事件之间的关系,以便采用不同的方法求其中,若,则),从而.8.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律,以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题【考场经验分享】1切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行分类时要做到不重不漏对于复杂的计数问题,可以分类、分步综合应用2解决排列、组合问题可遵循“先组合后排列”的原则,区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”,更重要的是弄清怎样的算法有序,怎样的算法无序,关键是在计算中体现“有序”和“无序”3要能够写出所有符合条件的排列或组合,尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符,使复杂问题简单化,这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正确与否,又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果4.几何概型求解时应注意：(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点,使得全体结果构成一个可度量区域(2)由概率的几何定义可知,在几何概型中,“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置与形状无关5.如果题设条件比较复杂,且备选答案数字较小,靠考虑穷举法求解,如果试题难度较大并和其他知识联系到一起,感觉不易求解,一般不要花费过多的时间,可通过排除法模糊确定,一般可考虑去掉数字最大与最小的答案本部分内容的基础是概率,高考试题中无论是以古典概型为背景的分布列,还是以独立重复试验为背景的分布列,都要求计算概率解此类问题的一个难点是正确的理解题意,需特别注意【名题精选练兵篇】1.【20xx江西省赣中南五校第一次考试】不等式组表示的点集记为M,不等式组表示的点集记为N,在M中任取一点P,则PN的概率为A. B. C. D. 【答案】B2.【20xx桂林市、北海市、崇左市20xx年3月联合调研】从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表,甲被选中的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】 ,故选B.3.【20xx辽宁大连市高三双基测试卷】在区间上随机地取两个数、,则事件“”发生的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】在区间上随机地取两个数、构成的区域的面积为,事件“”发生的区域的面积为,所以所求概率为,故选D4.【20xx年河北省“五个一名校联盟”二模】在区间和分别取一个数,记为a,b,则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）ABCD【答案】B5. 【20xx届湖北省襄阳市第五中学高三第一学期11月质检】高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为（ ）A B C D【答案】A【解析】4人站成一排,其中甲乙相邻的情况有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙丁）、（丁甲乙丙）（丙丁甲乙）、（丁丙甲乙）（乙甲丙丁）、（乙甲丁丙）（丙乙丁甲）、（丁乙甲丙）（丙丁乙甲）、（丁丙乙甲）共12种,其中甲丙相邻的只有（丙甲乙丁）、（丁丙甲乙）、（乙甲丙丁）、（丁乙甲丙）共四种,所以所求的概率6. 设随机变量服从正态分布,若,则的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】随机变量服从正态分布,因此,故答案为B.7. 【20xx届贵州省贵阳市普通高中高三上学期期末监测】若任取,则点满足的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】D.8. 【20xx届北京市丰台区高三上学期期末考试】20xx年11月,北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议,出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求,那么不同的排法共有（A）种 （B）种 （C）种 （D）种【答案】B【解析】先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,所以美俄两国领导人的安排有种不同方法；再安排其余人员,有种不同方法；所以,共有种不同方法.9.【20xx届陕西省宝鸡市九校高三联合检测】已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】C10. 已知集合,在区间上任取一实数,则的概率为A B C D【答案】C【解析】解不等式,再求函数的定义域：则,区间长度为2,区间长度为6,概率为,选C。11.已知函数,若是从1,2,3三个数中任取的一个数, 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为A. B. C. D.【答案】【解析】求导数可得,要满足题意需有两不等实根,即,即,又的取法共有种,其中满足的有共6种,故所求的概率为,故选D12.从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是（ ）A590 B570 C360 D210【答案】A【解析】设语文老师人数为,数学老师人数为,英语老师人数为,则符合条件的各科人数有以下几种情况：,选派方法种数为,选A.13.从数字、中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为A B C D【答案】B14.在圆内任取一点,则该点恰好在区域内的概率为（ ） A B C D【答案】C 【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如下图的ABC及其内部,其中A（1,2）,B（3,3）,C（3,1）,ABC位于圆（x-2）2+（y-2）2=4内的部分,在圆内任取一点,则该点恰好在区域内的概率为故答案为：15.【20xx届湖南省长望浏宁四县高三3月调研】如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0,1）,B（,1）,C（,1）,D（0,1）,正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A B C D 【答案】B16.如图,大正方形的面积是34,四个全等三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】【解析】因为大正方形的面积是,所以大正方形的边长是,由直角三角形的较短边长为,得四个全等直角三角形的直角边分别是和,则小正方形边长为,面积为.所以小花朵落在小正方形内的概率为.故选.17. 【20xx届陕西省高三教学质量检测一】周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估计做对第一道题的概率为,做对两道题的概率为,则预估计做对第二道题的概率为（ ）A B C D【答案】B18.【20xx河南新乡许昌平顶山二调】某校高二年级有5个文科班,每班派2名学生参加年级学生会选举,从中选出4名学生 进入学生会,则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为_【答案】 【解析】4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为.【名师原创测试篇】1. 某小区准备在小区活动广场建造如图所示的休闲区域,中心区域E将建造一个喷泉,现要求在其余四个区域中种上不同颜色的花卉,现有四种不同颜色的花卉可供选择要求每一个区域种一种颜色的花卉,相邻区域所种的颜色不同,则不同的种花卉的方法种数为()A64 B72 C84 D96【答案】C【解析】分成两类：A和C同色时有43336(种)；A和C不同色时432248(种),一共有364884(种)2.如图,设抛物线的顶点为,与轴正半轴的交点为,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为,随机往内投一点,则点落在内的概率是( )A. B.C. D.【答案】C3.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,组成点,则这些点在直线上方的概率为 .【答案】【解析】从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,组成的点有 个,点在直线上方,即满足不等式,这样的点有(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共12个,所以所求概率为.4.如图所示,在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x,y).则以x,y,1为边长能构成锐角三角形的概率为 .【答案】15.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为_.【答案】【解析】加工出来的零件是次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得加工出来的零件的次品率P1.故填.6.甲袋中有2个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋,然后从乙袋中随机地取出一球,则取出的球是白球的概率是_.【答案】【解析】设A表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”,B表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”.P(A),P(),P(B|A),P(B|).P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|).故填.
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