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第2课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)遍_知识探究素一养-启一迪一t小试身手1. 若函数y=f(x)是函数y二3的反函数则f的值为(B)(A)-log23(B)-log32(C)i(D)V39解析：由y二f(x)的反函数是y=3知f(x)=log3x.故f(|)=log3|=-log32.2. 若a二Ig11,b二Ig9,c=lg*则a,b,c的大小关系是(C)(A)bca(B)bac(C)abc(D)acb解析：因为y=lgx在(0,+8)上是增函数，所以lglllg9lg:，故abc.故选C.3. 函数f(x)=Vlnx-l的定义域是(C)(A)(0,e(B)(0,ie(C)e,+8)(D)U,+8)e解析：由InxTN0知InxNl,所以xNe.故选C.4. 函数f(x)二log2(l+2x)的单调增区间是.解析：易知函数f(x)的定义域为(-+8),又因为函数y=log2x和y=l+2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是(-：,+8).答案：(|,+8)庙貌堂-探舅2素美培育一-点探究点一对数函数的单调性备用例题例1比较下列各组数的大小.(1) logiO.2与log20.8;2(2) log43与logo.25。.5;log3|与log。?；(3) logi.il.7与log0,2l.7.解：logiO.2=log1|=log25.225因为y=log2x在(0,+8)上是增函数，所以log25log20.8.所以logiO.2log20.8.2(2)因为logo.25O.5=logii=log12logi3,42所以logo.250.51og33=11og32,所以log56log32,所以log32-1log-,6-1.所以logslogi.il=0,log0,2l.70,logo.1.7logo,21.7.例2求不等式log(2a-1)2l成立的a的范围.解:当2a-11时，由log(2a-i)2log(2a-i)(2a-l)知2a-l2,即l2a-l2,故Ka-.2当0log(28-i)(2al)知2al2,无解综上可知a的取值范围是(1,|).例3若函数f(x)=logi(x2-2ax+3)在(-8,口上是增函数,则实数a2的取值范围是解析:令g(x)=x2-2ax+3,则函数f(x)=logig(x)在析8,1上是增函数,2等价于g(x)在(-8,1上是减函数且g(x)0.故搭甘0,即忐甘0.故心2.答案：1,2)例4已知函数f(x)=log2()Tog控(2x)的定义域为吃8.(1) 设t=log2x,求t的取值范围;求f(x)的最大值与最小值及相应的x的值.解：由题意可得xeV2,8,所以拦log2xW3,即t的取值范围为件.(2)f(x)=log2(Y)log2(2x)=2(log2V%_2)(l+log2x)=(log2x-4)(l+log2x).令t=log2x,则y=(t-4)(t+l)=t2-3t-4=(t-|)2-,其中3,所以，当t=|,即x=2据时,f(x)有最小值253，当t=3,即x=8时,f(x)有最大值-4.例5若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且al)的反函数，其图象经过点(V2,|),则a=.解析:因为点(梅,：)在y=f(x)的图象上,所以点(|,V2)在y/的图象2上，则有V2=a3,又因为a0,所以a2=2fa=V2.答案:扼例6己知函数f(x)=loga(a0,且a#=l).(D求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.解：(1)要使此函数有意义，则有fx+10,(x+101x-1V0,解得X1或Xl时,f(x)=loga的单调递减区间为以8,-1),(1,+8),无X-1单调递增区间；当0次1时,f(x)=10康壬的单调递增区间为(-X-18,-1),(1,+8),无单调递减区间.课堂达标1. 不等式log2xi的解集是(B)(A)(x|oxy(B)(x10xV2)(D)x|x乎解析:依题意log2xlog222,由于y=log2x是定义域上的单调递增函数,故0xlogo.35(B)log70.50(C)ln3ln3.001(D)log23log43解析：由于log70.5log22=l,log43log43,故D不正确.选AC.3. 若logi(2m)m-l0.即pm血?，则mi.Im-10.答案：(1,+8)函数y=logi+1)的值域为.2解析：因为2、+11,函数y=logix是(0,+8)上的减函数，2所以logi(2x4-l)0,且al).解：(l)y=logix在(0,+8)上单调递减,2又因为:，所以1ogi，1OgiO/2D2/(2) 因为在xe(1,+8)上,y=logix的图象在y=logix图象的上方,52所以Iogi3l时，y=logax为增函数，所以logn2loga3;当0aloga3.即时训练IT：比较下列各组数的大小.(1) loga2.7,loga2.8(a0,且a/1);log34,log65;(2) log。/,log97.解：(1)当al时，由函数y=logax的单调性可知loga2.7loga2.8;当0aloga2.8.(2)log34log33=l,log65log65.1og0.371og91=0,所以logo.37log2(l-x);(2)若logAl,求实数a的取值范围.Ox+10,解：(1)原不等式等价于1-X0,X+11-%,解得0xl,则loga|l.若0al,则log：l=logaa,所以0alogfl(l-x),求x的集合.x+10,解：当al时,1-x0,得解集为(0,1).x+1lx%+10,当时，1-x0,得解集为(-1,0)(*+1V1工孑方法总结(/(%)0,logaf(x)l与不等式组，gx)0,同解.If(%)0,(1) logaf(x)logag(x),0a0,同解.Lf(%)g(x)特别地:当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a衣|oa0得函数f(x)的定义域为(x|x2或xl时,y=logat为增函数,t=2x2-3x-2在(2,+8)上单调递增，在(-8,-j)上单调递减，所以f(X)在(2,+8)上单调递增，在(-8,-1)上单调递减.当0al时,f(x)的单调增区间为(2,+8),单调减区间为(-8,-9；当0索1时,f(x)的单调增区间为(-8,彳)，单调减区间为(2,+8).即时训练3-1:求函数f(x)=log2(x2-l)的单调区间.解:令x2-l0,所以X1或X1时,U=X2-1单调递增.a二21,所以f(x)=log2(x2-l)的增区间为(1,+8).当X0)的单调性在al时相同,在0a0,a尹1),且f(1)=2.求a的值；(2)求f(x)在区间0,:上的最大值.解：因为f(1)=2,所以f(l)=loga2+logu2=loga4=2,所以a=2.3-x0得x(T，3),所以函数f(x)的定义域为(-1,3),f(x)=log2(l+x)+log-j(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2(x2+2x+3)=log2(x1)2+4,记t=-(x-1)2+4,因为xe0,|,所以x=l时,t有最大值4,当x=0时,t有最小值3.所以3WtW4.所以log2tlog24=2.所以f(x)在区间0,上的最大值为2.即时训练4-1:已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0al).(1) 求函数f(x)的定义域；若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.解：(1)要使函数有意义，则有:二:%解得-3xl,所以定义域为(_3,1).(2)函数可化为f(x)=loga(l-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=log-(x+1)?+4.因为-3xl,所以0-(x+1)2+4W4.又0a0且a/1)的复合函数值域的步骤:求函数的定义域;将原函数拆分成y=logN(a0,且a/l),u=f(x)两个函数;由定义域求u的取值范围;利用函数y=log“u(a0且2尹1)的|单调性求值域.同理可求y=f(log,x)(a0且a尹1)型复合函数蹄HFQ探究点三指数函数与对数函数的关系例5若函数f(x)=log三的反函数的图象过点(-2,3),则解析:根据反函数的定义可知，f(X)=log卢m过点(3,-2),X+1即10g2三壬一2,则呼W，解得a=2.3+144答案：2即时训练5-1:若点(2,：)既在f(x)=2g的图象上，又在其反函数的图象上，则a+b=.解析：由题意知(2,|),G，2)均在函数f(x)=2心的图象上，故有(2a+b=-1,(a=-：，*b=L叫上，所以a+b=-+-=i.333答案竺孑方法总结(1) 指数函数与对数函数的关系同底数的指数函数与对数函数互为反函数.(2) 应用反函数的性质时涉及的知识点互为反函数的两个函数的图象关于直线y二x对称； 函数y=f(x)的图象过点(a,b)是y=f(x)的反函数的图象过点(b,a)的充要条件； 互为反函数的两函数的单调性相同；反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定支点探究点四对数函数的综合应用例6己知函数f(x)=log2-(m1)是奇函数.1-mx(1) 求函数y=f(x)的解析式；用函数单调性的定义证明：函数在区间(-1,1)上单调递减.解：由题意得f(-x)+f(x)=O对定义域中的x都成立,所以log产土+log2；二0,l+mxlmxnn1+xlxi即布.成，所以l-x2=l-mXt定义域中的x都成立,所以m2=l,又m=l,所以m=-l,所以f(x)=log?.1+X(2)证明：法一设g(x)二孕,JLI人设X1,X2(-1,1),旦X10,x2+l0,X2-Xi0.因为g(xi)-g(x2)=-0,所以g(xi)g(x2),所以函数y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减.由g(Xi)g(x2)0知log2g(xi)log2g(x2).故log上空10g2次,因此f(x)在(-1,1)是单调递减函数.1+X1+%2法二设X1,X2&(-1,1),且X1X2,1X11-X21+%!,1+X2则f(X.)-f(X2).log-log=log2(1-%!)(l+x2)=1辎(1+部1=log21-中2+刀2一Xll-XiXz+XXz因为-1X1X20,且(1+X1)(1-X2)=1-X1X2+X1-X2O.所以1-X|X2+X2-X11-X1X2+X1-X2,所以lW2x1kl-x1x2+x1-x2所以Iog2-所以Iog2-(1-工1)(1+X2)(l-x2)(14-X1)0.所以f(Xi)-f(x2)0.所以f(X1)f(x2).所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
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