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1.5全称量词与存在量词1. 5.1全称量词与存在量词核心知识目标核心素养目标1. 通过已知的数学实例，理解全称量词、存在量词和全称量词命题、存在量词命题的意义.2. 掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假的基本原则和方法.1. 通过对全称量词与存在量词、全称量词命题和存在量词命题等概念的学习，发展数学抽象的核心素养.2. 通过判断全称量词命题和存在量词命题的真假，增强逻辑推理的核心素养.知识探究素养启迪情境导入在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们说他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.|(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解的问|题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.翅备用例题例1用量词符号“V”“亲表述下列命题.所有实数x都能使x2+x+l0成立；对所有实数a,b,方程ax+b=O恰有一个解；(2) 有些整数既能被2整除,又能被3整除；某个四边形不是平行四边形.解：(l)VxER,x2+x+l0.(2) Va,bR,ax+b二0恰有一个解.3xZ,x既能被2整除又能被3整除.(4)北四边形,x不是平行四边形.例2判断下列命题的真假.(1) 3x,y为正实数，使x2+y2=0;存在一个四边形不是平行四边形；(2) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点P;存在两个无理数，它们的乘积是有理数.解：由于x2+y2=0时,x二y=0,因此不存在正实数x,y使x2+y2=0,故为假命题.(2) 真命题，如梯形.(3) 由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.由于x=V3+l,y=V3-l时，xy=(V3+1)(V3-l)=2,因此是真命题.例3若“VxEx|x3a,x2Nl”是真命题,求实数a的取值范围.解：因为乂偿1,所以xNl或xWT.又xEx|xNa，则x|xNa呈x|xNl.故a31.即实数a的取值范围为a|aNl.例4已知命题FxER,2齐*1)x+：W0”是假命题,则实数a的取值范围是.解析：由题意可得“对VxER,2x2+(a-l)x+|0恒成立”是真命题，令-(a_l)2_40得Ta3.答案：(a|-Ka2x1+3x2解析：由于方程x2-3x+2=0只对x=2和x=l成立,不能对VxGR成立，故A不对,B中不存在xR满足方程,D中x2-2x+l0仅对x尹1时成立,故选C.4, 若存在x(x|x0，使方程x-a=O有解是真命题，则实数a的取值范围是.解析：由xa=O知a6(x|x0,因此a0.答案:(a|a0)探究1:文中理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有”这一词语,你还能用其他词语代替吗？提示：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“凡是”等.探究2:上述词语都有什么含义？提示:表示某个范围内的整体或全部.知识探究1. 全称量词与全称量词命题问题1观察下面的两个语句，思考并回答下列问题：下面的两个语句都是命题吗?两者之间有什么关系？P:xW3;Q：对所有的xR,xW3.提示:语句P无法判断真假，不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.梳理1全称量词与全称量词命题全称量词定义短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词符号表示V全称量词命题定义含有全称量词的命题,叫做全称量词命题一般形式对M中任意一个x,p(x)成立符号表VxM,p(x)示2. 存在量词与存在量词命题问题2-1观察语句:存在一个xeR,使3x+l=5;至少有一个xZ,x能被2和3整除.是命题吗?若是命题,判断其真假.提示:是,都为真命题.问题2-2你能写出一些与问题2-1中具有相同意义的词语吗？提示:某些，有的，有些.梳理2存在量词与存在量词命题小试身手存在定义短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词量词符号表示a存在量词命题定义含有存在量词的命题,叫做存在量词命题一般形式存在M中的元素x,p(x)成立符号表示北墨虬p(x)1.下列命题是存在量词命题的是(B)(A) 任意给定实数x,x20(B) 存在有理数x,使得3x-2=0(0每一个有理数都能写成分数的形式(D)所有的自然数都大于或等于零下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(C)(A) 每个二次函数的图象都开口向上存在一条直线与已知直线不平行(0对任意实数a,b,若a-bW0,则aWb(D)存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立解析:选项B,D是存在量词命题，故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a0;Vxe(1,3,0),2x+l0;(2) 3xN,使VJWx;3xN*,使x为29的约数.解析：因为当x=0时,2x2-3x=0,故是假命题，易知,(3),(4)均为真命题.答案：若命题“任意xER,ax?-ax-2WO是真命题,则实数a的取值范围是解析：当a=0时，不等式显然成立.当aO时，依题意知；上八解得-8Wa0.综上可知-8Wa(J=+8a0,WO.答案：(a|-8a0;(2)VxGN,3xZ,x30.因此命题VxER,xlX)是真命题.由于OGN,而且当x=0时,VOl不成立.因此命题“VxN,MN1”是假命题.(3) 由于-lez,而且当x=-l时，有(-1)30(B)VxUN,xNl(B) 3xZ,x30”是假命题.对B,由于0EN,所以命题“VxGN,xNl是假命题.对C,由于TGZ,且当x=T时,x3l成立，所以命题u3xGZ,x3l是真命题.对D,由于0UQ,且V0=0,所以命题FxEQ,&WQ”是真命题.故选CD.寸方法总结全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧(1)全称量词命题的真假判定要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个X,使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题的真假判定要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找至巨x,使p(x)成立即可;否则，这一存在量词命题就是假命题.三Q探究点三由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3已知命题p:3xeR,x2+x+2-a0,解得a；，即实数a的取值范围为a|a；.4变式训练3-1将本例中的条件改为FxER,x2+x+2-a=0”，其他条件不变，求实数a的取值范围.解：因为p为真命题，所以方程x2+x+2a=0有实根，则=1-4(2-2)N0,解得aN；,4即实数a的取值范围为a|aN；.4变式训练3-2将本例中的条件改为VxGR,x2+x+2-a0，其他条件不变，求实数a的取值范围.解:法一因为P为真命题,则函数y=x2+x+2-a的图象恒在x轴上方,又x2+x+2_a=(x+-)2+-a,则Z-aO,故a0恒成立，则=1-4(2a)3,有xa恒成立，则a的取值范围是.解析：由于对任意x3,有xa恒成立，即大于3的数恒大于a,所以aW3.答案:a|aW3即时训练3-2:存在xx|xWa,X?=1”是假命题，则a的取值范围是.解析:依题意x2=l在集合(x|xa)内无解，因此结合X?二1的解为T和1知,这两个元素不在集合x|xWa内，故a-l.答案:(a|a-l寸方法总结利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称量词命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.
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