3.3三角大题三角变换与解三角形

33三角大题 三角变换与解三角形必备知识精要梳理1三角函数恒等变换四大策略常值代换特别是T的代换IF*外cos26Man45。等.(2)角的配凑如枸-p.2a=(a+p)心询;呻“妙心询.(3)降次与升次:正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.2解三角形的公式变形正弦定理亠=-=亠的一些变式:日:b:c-sin /I: sinB:sin Csinsin4 sinB sinC力二二sin B二2,sinC=-(s)a=2Rsn Atb=2Rsn B.c 二 2 附 nG其中 /?是夕卜接圆2R2R2R的半径(2)余弦定理耳二仔+WZ?uosA的变形为cos力少疔当3 + 心0(-0ZZx=sin 4sinBoAB 关键能力学案突破热点热点三角函数与三角变三角函数与三角变换的综合换的综合【例1】（2020北京海淀二模,17）已知函数心）=2cos2exMsingx.求他）的值；从型二1, g =2;如二1,5 -1这两个条件中任选一个作为题目的已知条件， 求函数心）在-屛上的最小值，并直接写出函数心）的 f 周期.解题心得1解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是通过变换把函 数化为y=Asm（cux+（p）的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意 利用整体思想解决相关问题.2三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数如把三角函数式 中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次，或把未知角用已知角表示，或把未知角通 过三角变换化成已知角.【对点训练1】（2020北京东城一模,17）已知函数心）=韵2輕）-2COS，X）（0）,6 6且满足_ （1）求函数彳力的解析式及最小正周期；（2）若关于x的方程心）-1在区间0,加上有两个不同解,求实数m的取值范围.从心）的最大值为1,心）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于兀心）的 图象过点似）这三个条件中选择 f 补充在上面问题中并作答.热点热点利用正弦走理、余弦定理利用正弦走理、余弦定理解三角形解三角形【例2 （2020山东,17）在孔二更win彳二3,詡这三个条件中任选 f 补充 在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.问题:是否存在3C它的内角ABC的对边分别为a.b.c.且sin力朋sin解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形， 正弦定 理的形式多样，其中a=2RsmA.b=2Rsn Bu2Rsin6（/?为三角形外接圆的半径）能够实 现边角互化.2.已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理 解三角形，在运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.M 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的;已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【对点训练2 （2020山东荷泽一模,17）在3韦日=2&os川acosB 朋+这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角三角形ABCt角ABC的对边分别为abc&ABC的面积为S若4S=3+“命 b 二横且_，求的面积S的大小.热点热点三角函数与解三角三角函数与解三角形的综合形的综合【例3】（2020山东聊城二模,18）在acos B+bcos A=2ccosC2asinAcos B+bsin2A 品ABC的面积为S且+以诃,这三个条件中任意选择一个,填入下 面的问题中， 并求解.在锐角三角形ABCf龟 AB,C所对的边分别为日/乙函数心）=2精sin excoso）X，2COS2QMG0）的最小正周期为恥为心）在o=上的最大值且，求a-b的取值范围.解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目耐亥I 不要忘记对角的 范围的限制，特别是求三角函数值的范围或最值时先要把自变量的取值范围求出来再利 用三角函数的单调性或利用三角函数线确定函数值的范围.【对点训练3 （2020山东烟台模拟,17）已知函数心）二1-2苗sinACOSx-2cox+m在R上的最大值为3.求刃的值及函数/的单调递增区间；（2）若在锐角三角形力比中，角ABC的对边分别为a,b,c且心1）旳求剂取值范围.热点热点四四三角变换与解三角三角变换与解三角形的综合形的综合【例4（2020天津,16）在必中,角A.B.C所对的边分别为a.b.c a-2V2,b-5, c=V13.（1）求角 Q 的大小；求sin/!的值；求sin（2Z +）的值解题心得在含有边角关系的等式中，利用正弦定理的变形a-2/?sin 42/?sinBu2RUm C,R为三角形外接圆的半径可直接将等式两边的边化为亀也能利用余弦定 理的变形如cos力牟芋将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时，要注 意角的范围的限制,还有隐含条件:力“刃,使用这个隐含条件可以减少未知数的个 数.【对点训I练4】(2020全国Z,文13)ABC的内角A.B.C的对边分别为N&C已知3=150。 .若a=c.b=W,求比的面积；(2)若sin 4V3sin C二g求C.2热点热点五五三角函数、三角变换与解三三角函数、三角变换与解三角形的综合角形的综合【例5】（2020全国 N 理12ABC中,sin2/Uin20dn2C=sin EsinC.求A若BC=3ABC周长的最大值解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路，一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量，然后利用三角变换，将所求的量化为心)=Asr(u)x+(或/W二 Acos(cux+的形式最终求出结果.【对点训I练5】(2020浙江J8)在锐角汀比中，角43Q所对的边分别为已知2俟inA-j3a=0.(1)求角3的大小；求cosA+cos B+cos0 的取值范围.核心素养微专题（三）核心素养微专题（三）核心素养在三角应用和三角综合题中的考查_C【例1侈选）（2020山东济南三模20）台球运动已有五六百年的历史参与者用球杆在台上击球如图，有一张长方形球台ABCD,AB 二 2AD,现从角落力沿角 啲方向把球打出去, 假设和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遷从反射定律若球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落 Q 的球袋中，则tan涵值为（）A；BfC.16 2 2核心素养分析本例考查考生多个核心素养，首先需要考生在读懂题意的基础上，通过直 观想象得到两种不同的碰撞情况;然后利用物理学中光的反射定律，通过数学抽象 得到关于角话斤在的直角三角形;再通过“数学建模将问题转化为三角函数的模型;最后 通过数学运算得出答案.【例21（2020山东淄博4月模拟,18）已知43分别在射线不含端点0上运动,乙MCNp在3Q中,角43Q所对的边分别为abc.若日00依次成等差数列,且公差为2.求c的值；若c 皿乙 ABC 二 e,试用讎示“尤的周长，并求周长的最大值.核心素养分析本例题是一道跨章节的综合题，在解三角形的题境下,将等差数列与余弦定 理的知识相结合，将函数和正弦定理的知识相结合，应用到一个问题中使三角形的周长的 最值问题通过建立三角函数模型得到解决考查了 数学建模” ”数学运算素养和知识 的应用能力、迁移能力,同时也考查了方程与函数的思想.3.3 三角大题三角变换与解三角形关键能力学案突破【例1】 解(1)/(0) =2cos20朽in 0=2.(2)方案一:选条件心)的一个周期为TI./(A)=2cos2%-sin 2x=(cos 2x1) +sin2x=2#sin 2x丐cos2因为AE冷, I c口3川7 TI所以2x+-e-石，迈所以-lsin2x +耳1.所以1-V2 /(A)4+B)=sinAcos B+cos4sin所以S弓mbsinC-.若选bcosA+acosB=/3*1,所以acos 3赳即a-宥兽，所以耳=6-2d.又因为岸北+/2 辰亭二6十&-2V3C；所以6卡2-6 F-2冉解得c=4所以S弓bcsin力二苓竺【例3】 解心）=2VJsin scos u%2cos2vx=/3sin 2a;xcos2cux+l=2sin（2sx丐）1.因为厂二/F所以e=l,/W=2sin（2% + ”） L.因为0A扌所以”s2x岭 気所以+sin2x +4/0,所以sinAcos B-f-sin RosA=-,所以sing均尊，所以sinC 务因为 U 为锐角，所以6*4若选由4Sr/5（，仔-c2）,得2absin十仔-c2）,即sinC-%；：,）,所以sin cVcos C即tan 6阿所以 u 斗因为3,U舞所以 兀佥md=2sin 4sinB）=2短Lsin /4-sin|n-4- =2饥泊（4弓）.因为以易所以 v 碍 V ?,所以质2辰in（Z斗）vVl所以a-b的取 值范围为（-怎苗）”对点训练3解 心）=1-2愆sinACOSx-2cos2x+/77=-Wlsin 2x+cos2A）m=-2sn（2兀+ ）+m,由已知2十力=3,得m=l,所以4A）=-2sin（2x+”）d.令2Xrn J2x-f 2kn. JxrwZ,得kn.舟xkn.-,k乙ZbLb3所以函数鞠的单调递增区间为加甘伽弓）teZ.（2）6（1）知-2sin（24丐）门-0,所以sin（2/U?）弓05 =T-C寻所以扌今V2即知取值范围为冷,2）.V3 12tanC+2-因为三角形为锐角三角形f【例4解 在“亦中,由余弦定理及录 2 竝尸届,可得cos又因为 金(0皿所以(2)在“必中,由正弦定理及Cga=2 血 eg可得sin力丄字= 窖. 由 mvc 及sin Z二令总可得cosAl-siA =斗鼻进而sin 24=2sinZcos Z=|,cos 2Z=2cos2/4-l寻所以sinl2A+ 目二sin 2Zcos”cos12vy2 , S V2 17V2 i3XT+13XT=6-对点训练4解 由题设及余弦定理得28=3HP-2xV5Hxcosl50解得u=-2(舍去)(=2从而a =2 屈.4 ABC的面积为*x2V5x2xsin 150(2)在-ABC中,ZL80-Q=30C所以sin 4r/sin C-sin(30G&5sin C=sin(30 v-C).故sin(30+0二乎.而0 C30,所以30 /=45：故C=15.【例5】解 由正弦定理和已知BC-ACAB=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A.由(辱cos 4二*因为0“吋所以4二爭.(2)由正弦定理及得鑰= =篇=2VX从而/C2曲sin3/4B=2/5sin(TT-4Q=3cosB-/3snB.故BC+AC+AB=3*V3sin 3+3cosB=3一2V5sin(B + ).又因为0 vE璋所以当B.ABC周长取得最大值3+2 屁TT2眉碍=对点训练5解由正弦定理得2sin EsinA=y/3snA,故sin 3二劣由题意,得B 二 p.由得 C 芋 Scos力+cos恥cosQ 的取值范围是（弓乜，!核心素养微专题（三）【例1】AD解析因为4养240现从角落力沿角啲方向把球打出去，球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落 U 的球袋中，有两种情况，一种是球先球台边框QU 碰撞，另一种是球先和球台边框碰撞,第一种情况如图/关于 QU 的对称点为关于M的对称点为F.根据直线的对称性可得tanc 疇=| = |.第二种情况如图 X 关于3U的对称点为GU关于力。的对称点为根据直线的对称性可得tan舞 =士故选AD.【例2】解 ab（依次成等差数列，且公差为2a 二 cA3c2由眈是锐角三角形，得虑TIn6r2cos / -cosB+cosC=ySin Z号cos /4*|=sinl A + ) +才 w、3+1故EDC.BG由cos U=cosA+3 m刊WMCNp即cosC 二 p由余弦定理可得彎第諾将a=cA b=c 代入得&914-0解得c=7或c=2.又 X.c=J.在SBC中，由正弦定理可得丄 J = =./ABC的周长1e=AC+BC+AB=2sn升2sin+ 曲=2sin&耳cos 6又血（0冷V&岭 營当&岭巧即&斗时，心取得最大值2+翻.sinZABC sinZBAC sinZACB