新版高三数学每天一练半小时：第55练 空间角与距离 Word版含答案

1 1训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.2已知正三棱柱ABCA1B1C1的体积为，底面是边长为的正三角形若P为A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.3.如图所示，在三棱锥SABC中，ABC是等腰三角形，ABBC2a，ABC120，SA3a，且SA平面ABC，则点A到平面SBC的距离为()A.B.C.D.二、填空题4.如图，在等腰直角三角形ABD中，BAD90，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_5.如图所示，在三棱锥SABC中，SBC，ABC都是等边三角形，且BC1，SA，则二面角SBCA的大小为_6如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：异面直线C1P与B1C所成的角为定值；二面角PBC1D的大小为定值；三棱锥DBPC1的体积为定值；异面直线A1P与BC1间的距离为定值其中真命题的个数为_三、解答题7.(20xx潍坊模拟)如图所示，底面ABC为正三角形，EA平面ABC，DC平面ABC，EAAB2DC2a，设F为EB的中点(1)求证：DF平面ABC；(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值8.(20xx辽宁沈阳二中月考)如图，在ABC中，ABC45，点O在AB上，且OBOCAB，PO平面ABC，DAPO，DAAOPO.(1)求证：PB平面COD；(2)求二面角OCDA的余弦值9.如图，正四棱锥SABCD中，SAAB2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点设P为线段FG上任意一点(1)求证：EPAC；(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值答案精析1 D连接A1B，易知A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，2 设ABa，易求得ADa，A1D，则A1Ba，故cosA1AB.2B因为AA1底面A1B1C1，所以APA1为PA与平面A1B1C1所成的角因为平面ABC平面A1B1C1，所以APA1为PA与平面ABC所成角因为正三棱柱ABCA1B1C1的体积为，底面三角形的边长为，所以SABCAA1，可得AA1.又易知A1P1，所以tanAPA1，又直线与平面所成的角属于0，所以APA1.3A作ADCB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示SA平面ABC，BC平面ABC，SABC.又BCAD，SAADA，SA平面SAD，AD平面SAD，BC平面SAD，又BC平面SBC，平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.在平面SAD内，过点A作AHSD于点H，则AH平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离在RtSAD中，SA3a，ADABsin 60a.由，得AH，即点A到平面SBC的距离为.445解析取BD的中点F，连接EF，AF(图略)，易得AFBD，AF平面BCD，则AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EFCDBDAF，所以AEF45，即AE与平面BCD所成的角为45.56064解析对于，因为在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，在正方体中有B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1CC1P，所以这两个异面直线所成的角为定值90，故正确；对于，因为二面角PBC1D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故正确；对于，三棱锥DBPC1的体积还等于三棱锥PDBC1的体积，而DBC1面积一定，又因为PAD1，而AD1平面BDC1，所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故正确；对于，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，平面BCC1B1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故正确综上知，真命题的个数为4.7(1)证明如图，过点F作FHEA交AB于点H，连接HC.EA平面ABC，DC平面ABC，EADC.又FHEA，FHDC.F是EB的中点，FHAEDC.四边形CDFH是平行四边形，DFCH.又CH平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.(2)解ABC为正三角形，H为AB的中点，CHAB.EA平面ABC，CH平面ABC，CHEA.又EAABA，EA平面AEB，AB平面AEB，CH平面AEB.DFCH，DF平面AEB，AF为DA在平面AEB上的投影，DAF为直线AD与平面AEB所成的角在RtAFD中，ADa，DFa，sinDAF，直线AD与平面AEB所成角的正弦值为.8(1)证明因为PO平面ABC，DAPO，AB平面ABC，所以POAB，DAAB.又DAAOPO，所以AOD45.因为OBAB，所以OAAB，所以OAOB，又AOPO，所以OBOP，所以OBP45，即ODPB.又PB平面COD，OD平面COD，所以PB平面COD.(2)解如图，过A作AMDO，垂足为M，过M作MNCD于N，连接AN，则ANM为二面角OCDA的平面角设ADa，在等腰直角三角形AOD中，得AMa，在直角三角形COD中，得MNa，在直角三角形AMN中，得ANa，所以cosANM.9(1)证明设AC交BD于O点，SABCD为正四棱锥，SO底面ABCD，BDAC，又AC平面ABCD，SOAC，BDSOO，BD平面SBD，SO平面SBD，AC平面SBD，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点，FGSD，BDEG.又FGEGG，SDBDD，FG平面EFG，EG平面EFG，SDBSD，BD平面BSD，平面EFG平面BSD，AC平面GEF.又PE平面GEF，PEAC.(2)解过B作BHGE于H，连接PH，BDAC，BDGH，BHAC，由(1)知AC平面GEF，则BH平面GEF.BPH就是直线BP与平面EFG所成的角在RtBHP中，BH，PH，PB，故cosBPH.