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本系列共14讲第二讲比和比例文档贡献者：与你的缘在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关 系有关.在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作 出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量.一种量（记作X）变化时另一种量（记作 y）也随着变化.与这两个量联系着，有一个不 变的量（记为k）.在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要 紧紧抓住这个不变量 k.如成正比例；如果 k是y与x的积，即在x 变化时，y与x的积不变：xy = k,那么 y与x成反比例.如果这两 个关系式都不成立，那么 y与x不成（正和反）比例.下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始.例1下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ 速度一定，路程与时间. 路程一定，速度与时间. 路程一定，已走的路程与未走的路程. 总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间. 总产量一定，亩产量和播种面积. 整除情况下被除数一定，除数和商. 同时同地，竿高和影长. 半径一定，圆心角的度数和扇形面积. 两个齿轮啮合转动时转速和齿数 圆的半径和面积(11) 长方体体积一定，底面积和高(12) 正方形的边长和它的面积(13) 乘公共汽车的站数和票价(14) 房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数(15) 汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总 量分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也 随着变化， 那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键 是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不 成比例.例如X零件数=总时间，总时间一定，制造每个零件用的 时间与要制造的零件总数成反比例 路程一定， 已走的路程和未走 的路程是加减法关系，不成比例.解：成正比例的有：、(15)成反比例的有：、(11)、(14)不成比例的有：、(12)、(13).例 2 一条路全长 60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路 程长的比依次是1： 2： 3某人走各段路程所用时间之比依次是 4 : 5 : 6, 已知他上坡的速度是每小时 3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求 出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度 (题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是 1 : 2 : 3,就可以求出上坡路的路程.解：上坡路的路程：60 X 1=10 （千米）1 + 2 + 3走上坡路用的时间：10-3= 31 （小时）3上坡路所用时间与全程所用时间比：4_ 44+5 + 6 = 15走完全程所用时间：31十=12 （小时）3 152答：此人走完全程共用121小时。2例3 一块合金内铜和锌的比是 2 : 3,现在再加入 6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量.应该注意到铜和锌的比是2 ：3时，合金的重量不是 36克，而是（36- 6）克.铜的重量始终没有变.解：铜和锌的比是 2 ：3时，合金重量：36- 6= 30 （克）.铜的重量：30 X =12 （克）2 + 3新合金中锌的重量：新合金内铜和锌的比：12 : 24= 1 : 2.答：新合金内铜和锌的比是1 : 2.例4师徒两人共加工零件 168个，师傅加工一个零件用 5分钟，徒弟加工一个零件用 9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析 师傅加工一个零件用 5分钟，每分钟可加工-个零件；徒 5弟加工一个零件用 9分钟，每分钟可加工零件-个。师、徒两人效率9的比是-:工作量=工作时间（一定），工作量与工作效率成正比例.工作效率解法1:设师傅加工x个，徒弟加工（168 x）个. x =5 168- x 1 9解得x= 108. 168 x= 168 108= 60 （ 个）.答：师傅加工108个，徒弟加工60个.解法2:由于师、徒两人工作效率的比是丄：1，那么他们工作量 9的比也是丄：1，因此师傅工作量是徒弟工作量的1十=14 （倍），徒5 9595弟的工作量为1倍量。168-（ - - 1 + 1） =60 （个）（徒弟）5960X（ 1 十-）=108 （个）（师傅）59解法3:师傅每分钟加工 1个，徒弟每分钟加工 1个，用相遇问59 ，由于两人的工作时间是一定的，根据题思考方法可求出两人各用了多少分钟然后用师、徒每分钟各自的59效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数。168+（ - + - ） =540 （分钟）59-X 540=108 （个）5-X 540=60 （个）9解法4:按比例分配做。T - : -=9:559168X 旦=108 （个）9 + 5168X 旦=60 （个）9 + 5例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高 25%，完成计划还要多少天？分析 这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数.从工效看，有原来的效率1600+ 20= 80台/ 天，又有提高后的效率80X（ 1 + 25%）= 100台/天从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数.根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率X所需天数=剩下的台数.解法1:设完成计划还需 x天.1600+ 20X（ 1 + 25% X x= 1600- 1600+ 20X580X 1.25 X x= 1600-400100x= 1200答：完成计划还需12天.x= 12.解法2:此题还可以转化成正比例.根据实际效率是原来效率的1 + 25%=倍，把原来效率看成“ 1”，实际和原来效率的比是1- : 1=5：4 44。因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4 : 5,如果设实际还需要 x天，原来计划的天数是 20-5= 15天，根据实际 与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解 答.设完成计划还需 x天.4= x5 20- 5解得x= 12.解法3:（按工程问题解）设完成计划还需x天.11丄 X（ 1 + 25% X x=1-丄 X52020解得x = 12例6 一个长方形长与宽的比是14: 5,如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少 平方厘米？画出图便于解题：BD的长：14+ 13= 27 （厘米），从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14 : 5,AB与 BD的比是 5 ：（ 14-5）= 5 : 9,AB的长是27- 9 =15 （厘米）5AD的长是15- =42 （厘米）14原长方形面积是 42 X 15= 630 （平方厘米）.答：原长方形面积是 630平方厘米.解法2:设原长方形长为14x，宽为5x.由图分析得方程（14x- 13）X 13-5xX 13= 182,x= 3.则原长方形面积：（14X 3）X（ 5X 3）= 630 （平方厘米）.例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法.要 求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应 用题，从而提高自己思维判断能力。习题二1. 一块长方形的地，长和宽的比是3 : 2,长比宽多 24米，这 块地的面积是多少平方米？2. 一块长方形的地，长和宽的比是3 : 2,长方形的周长是 120 米，求这块地的面积？3. 水果店运来橘子、 苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是 5 : 3, 求橘子、苹果各是多少筐？4. 化肥厂计划生产化肥 1400吨，由于改进技术5天就完成了计 划的25%，照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？5. 小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是4 : 3,已知一件上衣 7元，求一条裤子多少元？6. 小刚读一本书，第一天读了全书的-，第二天比第一天多读15了 6页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3: 7。小刚再读多少页就能读完这本书？7. 甲、乙两车由 A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比 是2: 3,已知甲车走完全程用 5-小时。求两车几小时后在中途相遇？28. “长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行 4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行 7公里，结果两次所用的时间相等求顺水船速与逆水船速的比。
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